整体二分 & CDQ 分治 学习笔记

整体二分

模板题

整体二分是基于二分的快速算法，用于求解答案允许二分，但是需要二分的对象过多而无法直接二分的问题。

这时候的解决方法是类似于线段树，递归计算很多个区间的答案，由于结构类似线段树，所以一共递归计算了 \(2n\) 次，为了保证复杂度，每次递归计算 \(l,r\) 这个区间的时候必须保证复杂度为区间长度（或加上 \(log\)、根号等），这样子就一共有 \(logn\) 层，每层仅计算 \(n\) 次，复杂度为 \(O(nlogn*区间运算复杂度)\)。必须必须保证区间运算的复杂度，否则就会退化到普通二分。

具体策略

假设当前计算区间 \(l,r\)，需要计算 \(V\)，那么求出一个 \(mid\)。这时候 \(V\) 中关于 \(1\) 到 \(l-1\) 是算完了的，于是只需要计算 \(l\) 到 \(mid\)（这是保证时间复杂度的重要措施），然后再统计 \(V\) 中哪些元素已经符合要求，放到 \(T1\) 中，另外的放到 \(T2\) 中，同时保存这次运算对 \(T2\) 中的元素的影响（为了使每次计算只需要运算 \(1\) 到 \(mid\)），然后递归左半部分和右半部分即可。

CGQ 分治

模板题

将一个大问题分解为两个小问题，先算出来两个小问题的答案，再将两个小问题放一起，计算答案。计算各自答案时递归求解。

使用 CDQ 分治的要求是问题可以被分解、可以快速算出来两半儿之间的答案。

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分治可以被运用在很多地方上，只要是在某一条件下，两块儿的内容必须各自计算，去掉这个条件后，又可以根据两边的答案（不根据也行）快速算出来和这个条件有关的答案，就可以，比如序列中人为不让两半的答案产生影响，再快速算出来左半部分与右半部分的影响；也可以是网格图中将中间的所有边割掉，使得两边互相不可达，然后再快速算出中间的边对两边的影响，参考题目：P3350 [ZJOI2016] 旅行者。