数据结构学习笔记
可并堆（左偏树）
左偏树有一个重要数组 \(dist\)，不是很容易维护，但是方大佬指导可以用一个节点的子树大小表示 \(dist\)，且可得证。
核心操作是 \(merge\) 即合并，先挑出需要合并的 \(x\) 和 \(y\) 中值较小的一个，设为 \(x\)，然后 \(x\) 为新根，\(x\) 的左节点为新根的左节点，\(x\) 的右节点与 \(y\) 进行递归合并，递归合并后的新树作为新根的右节点。注意当需要合并的两个树其中一个为空时，特判。
删除根节点就是合并根节点的左节点和右节点。
查询一个节点所在树的根节点，可以用并查集实现
- 合并两个树时将两个树的原根的父亲都设为新根
- 删除一个根时将这个根、这个根的左右儿子的父亲全部设为新根
更改元素时，最好直接删除原元素，再建一颗树，不要在原树上改，因为左偏树的跳根操作涉及到了并查集，并查集用路径压缩后很多点的父亲都是原元素，直接更改容易出错。
有的时候合并两个树的时候，会出现一个树是空树的情况，这时候由于要给两个树的 \(fa_i\) 赋值，就会出现给 \(fa_0\) 的错误，这时候要及时给 \(fa_0\) 赋值为 \(0\)。
另外，出现这种情况的大部分情况是一个点对应了一个堆，而这个点对应的这个堆又有可能是个空堆。这种情况下，一般这个点有一个 \(belong_i\) 或 \(p_i\)，来对应自己的堆，因此就一定要及时更新这个值，以免这个值还是 \(0\)。
线段树 进阶
线段树的 pushup 不仅可以在 \(O(1)\) 的时间内完成更新，也可以利用递归等手段以较高的复杂度完成较复杂的更新，以此解决更困难的问题。
参考题目：P4198 楼房重建
超级牛牛的线段树分治
模板题：（基于时间的）区间加边判断二分图
一般解决的问题是关于时间轴的，在某些时间有添加操作，在某些时间有删除操作，这时候发现添加容易删除难，于是就用线段树记录下来某一个东西在某段时间内是存在的，然后回答关于某一个时间的问题时，就从根节点往下找，遇到某个东西在这一段里面都存在时，就添加进去。
线段树的节点信息的区间有时是基于时间的，写代码时务必注意，防止出错。
由于线段树分治存在撤销操作，有些均摊复杂度的东西（比如并查集路径压缩）就要找东西平替了。
线段树二分
可以基于时间，或者操作数量等等可二分的内容，用于需要二分，但是 \(check\) 不允许 \(On\) 的复杂度，并且 \(check\) 来的值可以用线段树维护（比如参考题目中的前 \(mid\) 个操作的或值），就可以用线段树二分计算了。
可持久化数据结构
可持久化 Trie
模板题：区间最大异或和
要注意树里面存的是什么，比如前缀和、异或和，不能只简单地存数值。
一般查询都是区间 \(l\) 和 \(r\) 之间查询，这时候可持久化 Trie 可以做到 \(1\) 到 \(r\) 之间的答案，但是如果要满足 \(l\) 之后，可以给每个节点赋值一个它最后被改变（无论是添加还是被添加时遍历）的时间，如果这个时间 \(\ge l\)，就可以，否则就不进入。
浙公网安备 33010602011771号