Wannafly挑战赛25 因子 [数论]

一、题意

令 X = n!, 给定一大于1的正整数p 求一个k使得 p ^k | X 并且 p ^(k + 1) 不是X的因子

输入为两个数n, p (1e18>= n>= 10000 >= p >= 2)

二、分析

2.1前置知识：阶乘质因数分解

定理：在n！的标准分解式中，质因数p的指数h为

\[h = \left[ {\frac{n}{p}} \right] + \left[ {\frac{n}{{{p^2}}}} \right] + ... = \sum\limits_{r = 1}^\infty  {\left[ {\frac{n}{{{p^r}}}} \right]} \]

推论：n！可以由他的质因数表示为

\[n! = \prod\limits_{p \le n} {{p^{\sum {\left[ {\frac{n}{{{p^r}}}} \right]} }}} \]

2.2本题思路

由题意可得，p的质因数肯定是n！的质因数；所以首先将p做质因数分解，得到p的各个质因数的指数h，再对每一个p的质因数求其在n！中的指数H

那么题中所求的K肯定是每一对H/h的数值中的最小值

\[ans = \arg \min \frac{{{H_i}}}{{{h_i}}}\]

三、代码

 

# include <iostream>
# include <cstdio>
using namespace std;
const long long INF = 1e18+10;
long long n,p;
long long H(long long i)
{
    long long res = 0;
    long long temp = n;
    while(temp)
    {
        res += temp/i;
        temp /= i;
    }
    return res;
}
void Solve()
{
    long long ans = INF;
    for(int i=2;i<=p;i++)
    {
        if(p%i == 0)
        {
            long long h = 0;
            while(p%i==0)
            {
                h++;
                p/=i;
            }
            ans = min(ans,H(i)/h);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);    
}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld",&n,&p)!=EOF)
    {
        Solve();
    }
    return 0;
}