高等数学-极限

极限

数列的极限

定义

设 \(\{x_n\}\) 是一个给定的数列，\(a\) 是一个实常数，如果对于任意给定的 \(\varepsilon>0\)，可以找到正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时，成立

\[|x_n-a|<\varepsilon \]

就称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)（或 \(a\) 是数列的极限），记为

\[\lim_{n\to\infty}x_n=a \]

如果不存在实数 \(a\) 使 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)，则称数列 \(\{x_n\}\) 发散

性质

一、收敛数列的极限必定唯一

二、数列的有界性

若 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\)，那么存在实数 \(m,M\) 满足对于任意 \(n\) 都有 \(m\le x_n\le M\)

三、数列的保序性

若 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b\) 且 \(a<b\)，那么存在正整数 \(N\)，当 \(n<N\) 时，成立 \(x_n<y_n\)

四、极限的夹逼性

三个数列 \(\{x_n\}\)，\(\{y_n\}\)，\(\{z_n\}\) 从某项开始成立

\[x_n\le y_n\le z_n,\ n\ge N_0 \]

且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a\)

运算

设 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\)， \(\lim\limits_{n\to\infty}y_=a\)，则有

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha a+\beta b\quad(\alpha,\beta\text{是常数})\\ &\lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=ab\\ &\lim_{n\to\infty}(\frac{x_n}{y_n})=\frac ab(b\ne 0) \end{align*} \]

常用极限

（1）若 \(a>1\) 则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\to\infty}a^{\frac 1n}=1\)

（2）\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac 1n}=1\)

无穷大（小）量

在收敛的数列中，我们称极限为 \(0\) 的数列为无穷小量

对于任意的给定的 \(G>0\)，存在 \(N\)，当 \(n>N\) 时成立 \(|x_n|>G\)，则称数列 \(\{x_n\}\) 是无穷大量，记为

\[\lim_{n\to\infty}x_n=\infty \]

若无穷大量 \(\{x_n\}\) 从某一项开始都是正的（或负的），则称其为正无穷大量（或负无穷大量），分别记为

\[\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty\\ \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty \]

Stolz 定理

设数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 满足 \(\{b_n\}\) 是严格单调递增的无穷大量且

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=L \]

\(L\) 可以是有限量，\(+\infty\) 或 \(-\infty\)，那么就有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L \]

收敛准则

定理：单调有界数列必定收敛

证明数列收敛只要证明数列有界并且单调即可

练习

Stolz定理

设 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)，求极限

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+2a_2+\dots+na_n}{n^2} \]

解：

令数列 \(x_n=\sum\limits_{i-1}^{n}ia_i,\ y_n=n^2\)

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{n^2-(n-1)^2}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{2n-1}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2-\frac 1n}\\ =&\frac a2 \end{align*} \]

根据Stolz定理，有

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+2a_2+\dots+na_n}{n^2}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\\ =&\frac a2 \end{align*} \]

夹逼法

用夹逼法计算极限：

\[\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{n=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}} \]

解：

一共有 \((n+1)^2-n^2+1=2n+2\) 个数被求和，那么有

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n+1}\le \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{n=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}}\le \lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n}\\ \because&\lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n+1}=2,\ \lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{n}=2\\ \therefore&\ 2\le\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{n=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}}\le 2\\ \therefore&\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{n=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}}=2 \end{align*} \]

函数的极限

定义

设函数 \(y=f(x)\) 在 \((x_0-\rho,x_0)\cup(x_0,x_0+\rho),\ \rho>0\) 上有定义

如果存在实数 \(A\)，对于任意 \(\varepsilon>0\)，可以找到 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，成立 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)

则称 \(A\) 是函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 处的极限，记为

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A \]

性质

一、极限唯一性

设 \(A,B\) 都是函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 的极限，则 \(A=B\)

二、局部保序性

若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B\) 且 \(A>B\)，则存在 \(\delta>0\)，当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时成立 \(f(x)<g(x)\)

三、夹逼性

若存在 \(\delta>0\)，当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，成立

\[g(x)\le f(x)\le h(x) \]

且 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A\)，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)

运算

设 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B\)，则

\[\begin{align*} &\lim\limits_{x\to x_0}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha A+\beta B\quad(\alpha,\beta是常数)\\ &\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)g(x))=AB\\ &\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac AB(B\ne 0) \end{align*} \]

---

该文为本人原创，转载请注明出处

博客园传送门