约束条件下多元函数极值问题

约束条件下多元函数极值问题

引入

一般在高中会学习到基本不等式，而高考中的约束条件下多元函数极值问题也几乎都是使用基本不等式及其变式来求解，但是基本不等式变形配凑都有些麻烦

而下面会介绍的方法能够不用动脑，直接暴力解出极值

偏导数

关于导数在我之前的blog中已经有过介绍，不了解的可以去看看（传送门）

在数学中，偏导数（partial derivative）的定义是：一个多元函数，对其中一个变量微分，而保持其他变量恒定

多元函数 \(f\) 关于变量 \(x\) 的偏导数写作 \(f'_x\) 或 \(\frac{\partial f}{\partial x}\)，其中 \(\partial\) 是微分算子 \(d\) 的变体，主要用于表示偏导数

感性理解一下，多元函数 \(f\) 关于变量 \(x\) 的偏导数其实就是把 \(f\) 中除了 \(x\) 的其他变量当作常数然后再求导

举个例子，令\(f(x,y)=2x^2+3y^2+5xy+1\)，则 \(f'_x(x,y)=4x+5\)

拉格朗日乘数法

介绍

要求 \(f(x,y)\) 在 \(\varphi(x,y)=0\) 时的局部极值时，我们可以引入新变量拉格朗日乘数 \(\lambda\)，这时我们只需要求下列拉格朗日函数的局部极值：

\[\mathcal{L}(x,y)=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y) \]

其中常数 \(\lambda\) 称为拉格朗日乘数，\(\mathcal{L}(x,y)\) 称为拉格朗日函数，求 \(\mathcal{L}\) 的两个偏导数，并建立方程组

\[\left\{ \begin{aligned} &f'_x(x,y)+\lambda\varphi'_x(x,y)=0\\ &f'_y(x,y)+\lambda\varphi'_y(x,y)=0\\ &\varphi(x,y)=0 \end{aligned} \right. \]

如果函数 \(z=f(x,y)\) 在约束条件 \(\varphi(x,y)=0\) 下的极值点是 \((x_0,y_0)\)，则存在 \(\lambda_0\)，使得 \(\lambda_0,x_0,y_0\) 是方程组的解

所以我们只需要求出方程组的解就能得到这个问题的可疑极值点

举例

问题1

已知 \(7x+4y=4\)，且 \(x>0,y>0\)，求 \(\frac7x+\frac1y\) 的最小值

解法1

这个问题均值很方便，简单配凑就行

\[\begin{aligned} \frac7x+\frac1y&=\frac14(7x+4y)(\frac7x+\frac1y)\\ &=\frac14(\frac{28y}x+\frac{7x}y+11)\\ &=\frac{11}4+\frac{7y}{x}+\frac{7x}{4y}\\ &\ge\frac{11}4+2\sqrt{\frac{7y}{x}\cdot\frac{7x}{4y}}\\ &=\frac{39}4 \end{aligned} \]

最小值就是 \(\frac{39}4\)，当 \(\frac{7y}{x}=\frac{7x}{4y}\)，即 \(x=\frac49,y=\frac29\) 时取得

解法2

下面试试用拉格朗日乘数法求解

问题转换为求 \(f(x,y)=\frac7x+\frac1y\) 在 \(\varphi(x,y)=7x+4y-4=0\) 的约束条件下的最小值

首先求 \(f\) 和 \(\varphi\) 两个函数分别关于 \(x,y\) 的偏导数

\[\begin{aligned} &f'_x(x,y)=-7x^{-2}\\ &f'_y(x,y)=-y^{-2}\\ &\varphi'_x(x,y)=7\\ &\varphi'_y(x,y)=4 \end{aligned} \]

然后利用拉格朗日乘数建立方程组

\[\left\{ \begin{aligned} &-7x^{-2}+7\lambda=0\\ &-y^{-2}+4\lambda=0\\ &7x+4y-4=0 \end{aligned} \right. \]

然后解方程就完了

\[\left\{ \begin{aligned} &x=\frac49\\ &y=\frac29\\ &\lambda=\frac{81}{16} \end{aligned} \right. \]

即 \(x=\frac49,y=\frac29\) 时 \(f\) 取得最小值

代入 \(x,y\) 得 \(f_{\text{min}}=f(\frac49,\frac29)=\frac{39}4\)

总结

这个问题比较naive，用拉格朗日乘数法会更加麻烦，但是拉格朗日乘数法更加无脑，可以用一样的方法解决更普遍的问题，这里举这个例子只是为了帮助理解一下过程

问题2

若实数 \(x>0\)，\(y>0\) 满足 \(6x+3y+4xy=8\)，求 \(2x+y\) 的最小值

解法1

还是均值不等式也不难

把约束条件转换为 \(xy\) 与 \(2x+y\) 的关系式，然后对于 \(2x+y\) 直接均值，取等时就能直接解出了

这里就不写了（我懒）

解法2

问题转换为求 \(f(x,y)=2x+y\) 在 \(\varphi(x,y)=6x+3y+4xy-8=0\) 的约束条件下的最小值

首先求 \(f\) 和 \(\varphi\) 两个函数分别关于 \(x,y\) 的偏导数

\[\begin{aligned} &f'_x(x,y)=2\\ &f'_y(x,y)=1\\ &\varphi'_x(x,y)=4y+6\\ &\varphi'_y(x,y)=4x+3 \end{aligned} \]

然后利用拉格朗日乘数建立方程组

\[\left\{ \begin{aligned} &2+\lambda(4y+6)=0\\ &1+\lambda(4x+3)=0\\ &6x+3y+4xy-8=0 \end{aligned} \right. \]

然后解方程就完了

\[\left\{ \begin{aligned} &x=\frac12\\ &y=1\\ &\lambda=-\frac15 \end{aligned} \right. \]

即 \(x=\frac12,y=1\) 时 \(f\) 取得最小值

代入 \(x,y\) 得 \(f_{\text{min}}=f(\frac12,1)=2\)

总结

这道题拉格朗日乘数法就简单多了，完全不用动脑，跟着形式来就行，不管多恶心的不等式题都可以这样暴力算

小结

唯一美中不足的是高考考纲内并没有偏导数，所以过程并不能直接写在答题卡上

不过问题不大，导就完了

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