deepseek 数学公式测试

设椭圆 \( C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \)，其上顶点 \( M \) 的坐标为 \( (0, 2) \)。点 \( P \) 在椭圆上，求 \( PM \) 的最大值。

1. 参数化椭圆：椭圆上任意一点 \( P \) 可表示为 \( (3\cos\theta, 2\sin\theta) \)。

2. 距离公式：\( PM \) 的距离平方为：

   \[d^2 = (3\cos\theta - 0)^2 + (2\sin\theta - 2)^2 = 9\cos^2\theta + (2\sin\theta - 2)^2. \]

3. 展开并化简：

   \[d^2 = 9\cos^2\theta + 4\sin^2\theta - 8\sin\theta + 4. \]

   利用 \( \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta \)，代入得：

   \[d^2 = 13 - 5\sin^2\theta - 8\sin\theta. \]

4. 求最大值：令 \( t = \sin\theta \)，则 \( t \in [-1, 1] \)。转化为二次函数：

   \[f(t) = -5t^2 - 8t + 13. \]

   其顶点在 \( t = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(-5)} = -0.8 \)，计算端点及顶点处的值：

   • \( t = -0.8 \) 时，\( f(-0.8) = 16.2 = \frac{81}{5} \)；
   • \( t = -1 \) 时，\( f(-1) = 16 \)；
   • \( t = 1 \) 时，\( f(1) = 0 \)。

   最大值为 \( \frac{81}{5} \)，对应距离为：

   \[\sqrt{\frac{81}{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5}. \]

5. 验证：通过拉格朗日乘数法确认，当 \( P \) 坐标为 \( \left(\pm\frac{9}{5}, -\frac{8}{5}\right) \) 时，\( PM \) 的距离为 \( \frac{9\sqrt{5}}{5} \)，且满足椭圆方程。

答案：\(\boxed{A}\)