算法第四章作业

1.（1）贪心策略：按区间右端点从小到大排序，从第一个区间开始，选它的右端点作为点，跳过所有能被这个点覆盖的区间，重复直到所有区间都有点
（2）证明：设按右端点排序后的第一个区间为I₁ = [a₁, b₁]，其中b₁是最小的右端点，考虑任意最优解S，设S中覆盖区间I₁的点为p（p ∈ [a₁, b₁]），由于b₁是最小的右端点，所以对于所有其他区间Iᵢ，都有bᵢ ≥ b₁，因此p ≤ b₁ ≤ bᵢ，即p一定在区间I₁的右端点左侧或重合，用b₁替换p：因为p ≤ b₁，所以：对于I₁：b₁ ∈ [a₁, b₁]，覆盖I₁，对于其他被p覆盖的区间Iᵢ：由于p ≤ b₁ ≤ bᵢ且p ≥ aᵢ ⇒ b₁ ≥ aᵢ，所以b₁也能覆盖这些区间，因此用b₁替换p后得到的新解S'仍然是可行解，且|S'| = |S|，所以存在包含b₁的最优解，贪心选择性质成立
（3）时间复杂度：排序时使用冒泡排序，时间复杂度O(nn)，选择时一次遍历，时间复杂度O(n)，则总时间复杂度为O(nn)
2.贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，从而希望导致全局最优解的算法策略。它的核心特点是"局部最优 → 全局最优"。