单调队列优化学习笔记

0.什么是单调队列

废话自己去学

1.板子：P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列

2.用处：动态维护一段连续区间的最值,该区间的左右端点均单调不减。

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1.为什么要用单调队列

看一道例题：

P1714 切蛋糕
今天是小 Z 的生日，同学们为他带来了一块蛋糕。这块蛋糕是一个长方体，被用不同色彩分成了 \(n\) 个相同的小块，每小块都有对应的幸运值。
小 Z 作为寿星，自然希望吃到的蛋糕的幸运值总和最大，但小 Z 最多又只能吃 \(m(m\le n)\) 小块的蛋糕。
请你帮他从这 \(n\) 小块中找出连续的 \(k(1 \le k\le m)\) 块蛋糕，使得其上的总幸运值最大。
形式化地，在数列 \(\{p_n\}\) 中，找出一个子段 \([l,r](r-l+1\le m)\)，最大化 \(\sum\limits_{i=l}^rp_i\)。
对于 \(100\%\) 的数据，有 \(1\le n\le5\times 10^5\)，\(|p_i|≤500\)。

我们有一个很显然的暴力算法
设\(\small sum[i]\)表示到第\(\small i\)个蛋糕价值的前缀和,\(\small ans\)为答案

\[ans=\max_{\substack{1\leq i\leq n\\ \max(0,i-m)\leq j <i}}(sum[i]-\min(sum[j])) \]

时间复杂度为\(\small O(n^2)\)，显然不可接受
而运用单调队列优化，就可以将复杂度降至\(\small O(n)\)，便可以轻松水过这题。

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2.如何用单调队列

1.开胃小菜

对于\(\small \min(sum[j])\),我们发现它实质上是要维护一个区间的最小值，且左右端点均单调不减
因此可以用单调队列去动态维护\(\small \min(sum[j])\)
具体来说，对于双端队列\(\small q\),当前值\(\small i\)

1. 不断弹出队首\(\small head\)直至\(\small head\)位于\(\small [\max(0,i-m),i)\)中
2. 用\(\small sum[head]\)更新\(\small ans\)
3. 不断弹出队尾\(\small tail\)直至\(\small sum[tail]<sum[i]\)
4. 将\(\small sum[i]\)插入队尾
5. 更新\(\small i\)

我们从这题一窥单调队列优化：
在这道题中，我们用单调队列维护了一个单调递增的区间，并以队首更新答案
Q：为什么是单调递增，它不是取最小值吗？
A：这是我学习单调队列时一直绕不开的思路误区。我们是用队首更新，因此要一直保持队首最小。若为单调递减则队首会一直保持最大，举几个例子就知道了
Q：1操作有什么用？
A：保证队列里的值的位置均位于所查找的区间中。
Q：为什么只需维护\(\small \min(sum[j])\)，\(\small sum[i]\)不是也在一直变化吗？
A：我们在选定\(\small i\)的时候，只与\(\small i\)有关的量就变为常量，原式就会变为

\[ans=k-\min(sum[j]) \]

对于一个常量，为什么要维护呢？

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2.开胃大菜

通过上文的讲述，我们建立起了对单调队列优化一个初步的认识，现在我们推广一下
对于如下的动规方程

\[F[i]=\min_{\substack{L(i)<=j<=R(i)}}(F[j])+val(i,j) \]

其中\(\small F[i]\)表示在第\(\small i\)状态下的取值，\(\small L(i),R(i)\)分别表示与\(\small i\)有关的一次函数，且具有相同单调性，\(\small val(i,j)\)表示与该函数中每一项都只与\(\small i,j\)的其中一项有关
在选定\(\small i\)时，\(\small i\)就变为常量，因此可以将方程化为

\[F[i]=\min_{\substack{L(i)<=j<=R(i)}}(F[j]+val(j))+k \]

我们维护一个单调队列，保持队首\(\small F[j]+val(j)\)最小，同时\(\small j\)在\(\small [L(i),R(i)]\)范围内，每次用队首更新\(\small F[i]\)，即可用\(\small O(n)\)的时间解决这类题目

3.一些细节

1. 如果题目的\(\small R(i)-L(i)\)不是一个定值，更新队首时要注意取值范围
2. 使用单调队列优化的要求\(\small L(i),R(i)\)均单调不减重要的事情说三遍；\(\small val(i,j)\)中的项只与\(\small i\)或\(\small j\)有关。

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3.试看看（不是）

P1725 琪露诺
P2034 选择数字（自认为此题比上题简单）
P2216 [HAOI2007]理想的正方形
P2627 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G
P3572 [POI2014]PTA-Little Bird