BZOJ5207 : [Jsoi2017]隧道

若$\min(n,m)<\min(n+1,m-1)$，则考虑计算左边与右边不连通的概率，然后用$1$减去它得到答案。

若$\min(n,m)\geq \min(n+1,m-1)$，则考虑计算对偶图中上边与下边不连通的概率。

同时当$n<m$时还可以旋转$90$°来交换$n$和$m$，使得$m\leq 9$。

那么问题转化为，给定$n\times m$的网格图，每个点颜色为$0,1,2$，每条边有存在的概率，求每个连通块不同时含有颜色$1$和$2$的概率。

连通性状压DP，设$f[i][j][S]$表示考虑到了$(i,j)$，轮廓线状态为$S$的概率。

其中$S$记录轮廓线上$m$个点所属连通块的最小表示，以及每个连通块的颜色。

为了避免map的使用，可以考虑扩展出所有状态后再进行排序，将相同状态的DP值合并，减小常数。

同时可以将$1$和$2$内部的边存在的概率设置为$1$，减小连通块的数量已达到优化状态数的效果。

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=115,M=1000000,P=1000000007;
int n,m,o,i,j,k,_id[N][N],_wr[N][N],_wd[N][N],id[N][N],wr[N][N],wd[N][N];
struct E{
  ll x;int y,v;
  E(){}
  E(ll _x,int _y,int _v){x=_x,y=_y,v=_v;}
}e[2][M];
int cnt[2];
inline bool cmp(const E&a,const E&b){
  if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
  return a.y<b.y;
}
inline void up(int&a,int b){a=a+b<P?a+b:a+b-P;}
inline int po(int a,int b){int t=1;for(;b;b>>=1,a=1LL*a*a%P)if(b&1)t=1LL*t*a%P;return t;}
inline int read(){
  int x;
  scanf("%d",&x);
  return 1LL*x*po(100,P-2)%P;
}
inline int read2(){
  int x=read();
  x=(P+1-x)%P;
  return x;
}
inline void fix(){
  int m=cnt[o],t=0,i,j,k;
  sort(e[o],e[o]+m,cmp);
  for(i=0;i<m;i=j){
    for(k=0,j=i;j<m&&e[o][i].x==e[o][j].x&&e[o][i].y==e[o][j].y;j++)up(k,e[o][j].v);
    if(k)e[o^1][t++]=E(e[o][i].x,e[o][i].y,k);
  }
  cnt[o^=1]=t;
}
inline ll get(ll x,int y){return x>>(y<<2)&15;}
inline void cal(ll&A,int&B){
  static int v[N],f[N];
  int i,x,t=0,C=0;
  for(i=0;i<=m;i++)v[i]=-1;
  for(t=i=0;i<m;i++){
    x=get(A,i);
    if(v[x]==-1){
      C|=(B>>(x<<1)&3)<<(t<<1);
      v[x]=t++;
    }
    f[i]=v[x];
  }
  for(A=0,B=C,i=m-1;~i;i--)A=A<<4|f[i];
}
inline void up0(ll A,int B,int C,int x,int y){
  A^=(get(A,x)^m)<<(x<<2);
  B|=y<<(m<<1);
  cal(A,B);
  e[o^1][cnt[o^1]++]=E(A,B,C);
}
inline void upl(ll A,int B,int C,int x,int y){
  int t=get(A,x-1);
  if(y+(B>>(t<<1)&3)==3)return;
  A^=(get(A,x)^t)<<(x<<2);
  B|=y<<(t<<1);
  cal(A,B);
  e[o^1][cnt[o^1]++]=E(A,B,C);
}
inline void upu(ll A,int B,int C,int x,int y){
  int t=get(A,x);
  if(y+(B>>(t<<1)&3)==3)return;
  B|=y<<(t<<1);
  e[o^1][cnt[o^1]++]=E(A,B,C);
}
inline void upul(ll A,int B,int C,int x,int y){
  int t=get(A,x),z=get(A,x-1);
  if(y+(B>>(t<<1)&3)==3)return;
  B|=y<<(t<<1);
  if((B>>(z<<1)&3)+(B>>(t<<1)&3)==3)return;
  B|=(B>>(z<<1)&3)<<(t<<1);
  ll S=z^t;
  for(int i=0;i<m;i++)if(get(A,i)==z)A^=S<<(i<<2);
  cal(A,B);
  e[o^1][cnt[o^1]++]=E(A,B,C);
}
int solve(){
  if(n<m){
    for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<m;j++)wd[j][i]=_wr[i][j];
    for(i=1;i<n;i++)for(j=1;j<=m;j++)wr[j][i]=_wd[i][j];
    for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)id[j][i]=_id[i][j];
    swap(n,m);
  }else{
    for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)wd[i][j]=_wd[i][j],wr[i][j]=_wr[i][j],id[i][j]=_id[i][j];
  }
  cnt[o=0]=1;
  e[0][0]=E(0,0,1);
  for(i=m-1;~i;i--)e[0][0].x=e[0][0].x<<4|i;
  for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++){
    int pl=j>1?wr[i][j-1]:0,npl=(P+1-pl)%P,
        pu=i>1?wd[i-1][j]:0,npu=(P+1-pu)%P,
        pul=1LL*pl*pu%P,p0=1LL*npl*npu%P,t=id[i][j];
    pl=1LL*pl*npu%P;
    pu=1LL*pu*npl%P;
    cnt[o^1]=0;
    for(k=0;k<cnt[o];k++){
      if(pl)upl(e[o][k].x,e[o][k].y,1LL*e[o][k].v*pl%P,j-1,t);
      if(pu)upu(e[o][k].x,e[o][k].y,1LL*e[o][k].v*pu%P,j-1,t);
      if(pul)upul(e[o][k].x,e[o][k].y,1LL*e[o][k].v*pul%P,j-1,t);
      if(p0)up0(e[o][k].x,e[o][k].y,1LL*e[o][k].v*p0%P,j-1,t);
    }
    o^=1;
    fix();
  }
  int ret=0;
  for(i=0;i<cnt[o];i++)up(ret,e[o][i].v);
  return ret;
}
int main(){
  int r,c,flag=0;
  scanf("%d%d",&r,&c);
  if(c<=1)return puts("1"),0;
  if(min(r,c)<min(r+1,c-1)){
    flag=1;
    for(i=1;i<=r;i++)for(j=1;j<c;j++)_wr[i][j]=read();
    for(i=1;i<r;i++)for(j=2;j<c;j++)_wd[i][j]=read();
    for(i=1;i<r;i++)_wd[i][1]=_wd[i][c]=1;
    for(i=1;i<=r;i++)_id[i][1]=1,_id[i][c]=2;
    n=r,m=c;
  }else{
    for(i=1;i<=r;i++)for(j=1;j<c;j++)_wd[i][j]=read2();
    for(i=1;i<r;i++)for(j=2;j<c;j++)_wr[i+1][j-1]=read2();
    for(i=1;i<c-1;i++)_wr[1][i]=_wr[r+1][i]=1;
    for(i=1;i<c;i++)_id[1][i]=1,_id[r+1][i]=2;
    n=r+1,m=c-1;
  }
  int ans=solve();
  if(flag)ans=(P+1-ans)%P;
  return printf("%d",ans),0;
}