2016-2017 National Taiwan University World Final Team Selection Contest
A. Hacker Cups and Balls
二分答案，将$\geq mid$的数看成$1$，$<mid$的数看成$0$，用线段树进行区间排序检查即可。时间复杂度$O(n\log^2n)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010,M=262150;
int n,m,i,a[N],e[N][2],l,r,MID,ans;
int len[M],c1[M],tag[M];
inline void tag1(int x,int p){
c1[x]=p?len[x]:0;
tag[x]=p;
}
inline void pb(int x){
if(~tag[x]){
tag1(x<<1,tag[x]);
tag1(x<<1|1,tag[x]);
tag[x]=-1;
}
}
inline void up(int x){
c1[x]=c1[x<<1]+c1[x<<1|1];
}
void build(int x,int a,int b){
len[x]=b-a+1;
tag[x]=-1;
if(a==b){
c1[x]=::a[a]>=MID;
return;
}
int mid=(a+b)>>1;
build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b);
up(x);
}
int ask(int x,int a,int b,int c,int d){
if(c<=a&&b<=d)return c1[x];
pb(x);
int mid=(a+b)>>1,t=0;
if(c<=mid)t=ask(x<<1,a,mid,c,d);
if(d>mid)t+=ask(x<<1|1,mid+1,b,c,d);
return t;
}
void change(int x,int a,int b,int c,int d,int p){
if(c<=a&&b<=d){tag1(x,p);return;}
pb(x);
int mid=(a+b)>>1;
if(c<=mid)change(x<<1,a,mid,c,d,p);
if(d>mid)change(x<<1|1,mid+1,b,c,d,p);
up(x);
}
bool check(){
build(1,1,n);
for(i=1;i<=m;i++){
int l=e[i][0],r=e[i][1];
bool u=l<r;
if(l>r)swap(l,r);
int len=r-l+1;
int cnt=ask(1,1,n,l,r);
change(1,1,n,l,r,0);
if(!cnt)continue;
if(u)change(1,1,n,r-cnt+1,r,1);
else change(1,1,n,l,l+cnt-1,1);
}
return ask(1,1,n,(n+1)/2,(n+1)/2);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&e[i][0],&e[i][1]);
l=1,r=n;
while(l<=r){
MID=(l+r)>>1;
if(check())l=(ans=MID)+1;else r=MID-1;
}
printf("%d",ans);
}
B. Bored Dreamoon
设$f[i]$表示$i$的横坐标。对于$h[i]<h[j]$，若$j$在$i$前面则无解，若$i$在$j$前面则$f[j]\geq f[i]$，否则$f[j]<f[i]$。若存在环则无解，递推求出所有$f$即可。时间复杂度$O(n^2)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,i,j,x,rk[N],s[N][N],ans;char ch[N];
pair<int,int>a[N];
int h,t;
int q[N],d[N],f[N],g[N],v[N*N],w[N*N],nxt[N*N],ed,vis[N];bool in[N];
void NIE(){
puts("-1");
exit(0);
}
inline void add(int x,int y,int z){
v[++ed]=y;w[ed]=z;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;
d[y]++;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i].first),a[i].second=i;
sort(a+1,a+n+1);
for(i=1;i<=n;i++)rk[a[i].second]=i;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",ch+1);
for(j=1;j<=n;j++){
s[rk[i]][rk[j]]=ch[j]-'0';
}
}
//s[i][j]=1 denotes j is in right front of i
for(i=1;i<=n;i++)for(j=i+1;j<=n;j++){
if(s[i][j])NIE();
//s[i][j]=0
if(s[j][i]){//i is in right front of j
add(i,j,0);
//f[j]>=f[i]
}else{
add(j,i,1);
//f[i]>=f[j]+1
}
}
for(h=i=1;i<=n;i++){
f[i]=1;
if(!d[i])q[++t]=i;
}
while(h<=t){
x=q[h++];
for(i=g[x];i;i=nxt[i]){
f[v[i]]=max(f[v[i]],f[x]+w[i]);
if(!(--d[v[i]]))q[++t]=v[i];
}
}
if(t<n)NIE();
for(i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
printf("%d",ans);
}
C. Crazy Dreamoon
枚举横坐标，纵坐标对应的区间可以双指针。时间复杂度$O(n^2)$。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2050;
const double eps=1e-9;
int n,i,j,ans;bool f[N][N];
int cnt;
struct P{
int x,y;
P(){}
P(int _x,int _y){x=_x,y=_y;}
P operator-(const P&b){return P(x-b.x,y-b.y);}
int operator*(const P&b){return x*b.x+y*b.y;}
}a,b,p,q;
struct E{
double x,y;
E(){}
E(double _x,double _y){x=_x,y=_y;}
}e[9];
inline int sgnd(double x){
if(x>eps)return 1;
if(x<-eps)return -1;
return 0;
}
inline bool cmp(const E&a,const E&b){
if(sgnd(a.x-b.x))return a.x<b.x;
return a.y<b.y;
}
inline int sgn(int x){
if(x>0)return 1;
if(x<0)return -1;
return 0;
}
inline int cross(const P&a,const P&b){
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
inline bool point_on_segment(P p,P a,P b){
return sgn(cross(b-a,p-a))==0&&sgn((p-a)*(p-b))<=0;
}
inline bool has_intersection(){
int d1=sgn(cross(b-a,p-a)),d2=sgn(cross(b-a,q-a));
int d3=sgn(cross(q-p,a-p)),d4=sgn(cross(q-p,b-p));
if(d1*d2<0&&d3*d4<0)return 1;
if(d1==0&&point_on_segment(p,a,b))return 1;
if(d2==0&&point_on_segment(q,a,b))return 1;
if(d3==0&&point_on_segment(a,p,q))return 1;
if(d4==0&&point_on_segment(b,p,q))return 1;
return 0;
}
inline void line_intersection(){
int U=cross(p-a,q-p);
int D=cross(b-a,q-p);
double t=1.0*U/D;
e[++cnt]=E(t*(b.x-a.x)+a.x,t*(b.y-a.y)+a.y);
}
inline bool check(int x,int y){
//printf("check %d %d:\n",x,y);
cnt=0;
p=P(x,y);
q=P(x+1,y);
if(has_intersection())line_intersection();
q=P(x,y+1);
if(has_intersection())line_intersection();
p=P(x+1,y);
q=P(x+1,y+1);
if(has_intersection())line_intersection();
p=P(x,y+1);
if(has_intersection())line_intersection();
/*for(int i=1;i<=cnt;i++){
printf("%.8f %.8f\n",e[i].x,e[i].y);
}*/
if(cnt<2)return 0;
sort(e+1,e+cnt+1,cmp);
int t=1;
for(int i=2;i<=cnt;i++)if(e[i].x>e[i-1].x+eps||e[i].y>e[i-1].y+eps)t++;
return t==2;
}
void solve(){
int A,B,C,D;
scanf("%d%d%d%d",&A,&B,&C,&D);
if(A==C||B==D)return;
if(A>C)swap(A,C),swap(B,D);
a=P(A,B);
b=P(C,D);
if(B<D){//up
int L=B,R=B;
//(i..i+1)(L..L+1)
//(i..i+1)(R..R+1)
for(int i=A;i<C;i++){
while(L<2000&&!check(i,L))L++;
if(L==2000)return;
if(R<L)R=L;
while(R<1999&&check(i,R+1))R++;
for(int j=L;j<=R;j++)f[i][j]=1;
}
}else{//down
int L=B-1,R=B-1;
//(i..i+1)(L..L+1)
//(i..i+1)(R..R+1)
for(int i=A;i<C;i++){
while(R>=0&&!check(i,R))R--;
if(R<0)return;
if(L>R)L=R;
while(L>0&&check(i,L-1))L--;
for(int j=L;j<=R;j++)f[i][j]=1;
}
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
while(n--)solve();
for(i=0;i<=2000;i++)for(j=0;j<=2000;j++)if(f[i][j])ans++;
printf("%d",ans);
}
D. Forest Game
设$d(x,y)$为$x$到$y$路径上点的个数，则$ans=n!\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{1}{d(i,j)}$。
利用树分治+FFT可以做到$O(n\log^2n)$。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=270000,P=1000000007;
const double pi=acos(-1.0);
struct comp{
double r,i;
comp(double _r=0,double _i=0){r=_r;i=_i;}
comp operator+(const comp&x){return comp(r+x.r,i+x.i);}
comp operator-(const comp&x){return comp(r-x.r,i-x.i);}
comp operator*(const comp&x){return comp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}A[N],B[N];
int n,m,i,x,y,ed,a[N],g[N],nxt[N],v[N],ok[N],son[N],f[N],size,now;
int inv[N],ans;
ll cnt[N];
inline void add(int x,int y){v[++ed]=y,nxt[ed]=g[x],ok[ed]=1,g[x]=ed;}
void findroot(int x,int pre){
son[x]=1;f[x]=0;
for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i]&&v[i]!=pre){
findroot(v[i],x);
son[x]+=son[v[i]];
if(son[v[i]]>f[x])f[x]=son[v[i]];
}
if(size-son[x]>f[x])f[x]=size-son[x];
if(f[x]<f[now])now=x;
}
inline void FFT(comp a[],int n,int t){
for(int i=1,j=0;i<n-1;i++){
for(int s=n;j^=s>>=1,~j&s;);
if(i<j)swap(a[i],a[j]);
}
for(int d=0;(1<<d)<n;d++){
int m=1<<d,m2=m<<1;
double o=pi/m*t;comp _w(cos(o),sin(o));
for(int i=0;i<n;i+=m2){
comp w(1,0);
for(int j=0;j<m;j++){
comp &A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=w*A;
A=B-t;B=B+t;w=w*_w;
}
}
}
if(t==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i].r/=n;
}
inline void cal(int t){
int i,k;
for(k=1;k<m+m;k<<=1);
for(i=0;i<k;i++)A[i]=B[i]=comp();
for(i=1;i<=m;i++)A[i]=comp(a[i],0),B[i-1]=comp(a[i],0);
FFT(A,k,1),FFT(B,k,1);
for(i=0;i<k;i++)A[i]=A[i]*B[i];
FFT(A,k,-1);
for(i=2;i<m+m;i++){
ll o=(ll)(A[i].r+0.5);
if(t>0)cnt[i]+=o;else cnt[i]-=o;
}
for(i=1;i<=m;i++)a[i]=0;m=0;
}
void dfs(int x,int pre,int d){
a[d]++;if(d>m)m=d;
for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i]&&v[i]!=pre)dfs(v[i],x,d+1);
}
void solve(int x){
int i;
dfs(x,0,1),cal(1);
for(i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i])dfs(v[i],x,2),cal(-1);
for(i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i])ok[i^1]=0,f[0]=size=son[v[i]],findroot(v[i],now=0),solve(now);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(ed=i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
f[0]=size=n,findroot(1,now=0),solve(now);
for(ans=n,inv[1]=1,i=2;i<=n;i++){
cnt[i]%=P;
inv[i]=1LL*(P-inv[P%i])*(P/i)%P;
ans=(cnt[i]*inv[i]+ans)%P;
}
for(i=2;i<=n;i++)ans=1LL*ans*i%P;
printf("%d",ans);
}
E. Lines Game
等价于选一个递增序列，且任意两个相邻的点$(i,p[i]),(j,p[j])$中间的矩形内部没有任何点。
设$f[i]$表示考虑前$i$个点，且$i$必选的最小代价。
考虑cdq分治，将左右的点按纵坐标排序后从小到大加入，两边分别维护两个关于横坐标的单调栈，然后用线段树维护单调栈中的DP值。
时间复杂度$O(n\log^2n)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010,inf=~0U>>1;
int n,i,a[N],w[N],f[N],v[262150];
int ca,cb,qa[N],qb[N],ta,tb,sa[N],sb[N];
inline bool cmp(int x,int y){return a[x]<a[y];}
void build(int x,int a,int b){
v[x]=inf;
if(a==b)return;
int mid=(a+b)>>1;
build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b);
}
void change(int x,int a,int b,int c,int p){
if(a==b){v[x]=p;return;}
int mid=(a+b)>>1;
c<=mid?change(x<<1,a,mid,c,p):change(x<<1|1,mid+1,b,c,p);
v[x]=min(v[x<<1],v[x<<1|1]);
}
int ask(int x,int a,int b,int c,int d){
if(c<=a&&b<=d)return v[x];
int mid=(a+b)>>1,t=inf;
if(c<=mid)t=ask(x<<1,a,mid,c,d);
if(d>mid)t=min(t,ask(x<<1|1,mid+1,b,c,d));
return t;
}
void solve(int l,int r){
if(l==r){
if(f[l]<inf)f[l]+=w[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
solve(l,mid);
int i,j;
ca=cb=0;
for(i=l;i<=mid;i++)qa[++ca]=i;
for(i=r;i>mid;i--)qb[++cb]=i;
sort(qa+1,qa+ca+1,cmp);
sort(qb+1,qb+cb+1,cmp);
ta=tb=0;
for(i=j=1;i<=cb;i++){
while(j<=ca&&a[qa[j]]<a[qb[i]]){
while(ta&&qa[j]>sa[ta]){
change(1,0,n,a[sa[ta]],inf);
ta--;
}
sa[++ta]=qa[j];
change(1,0,n,a[qa[j]],f[qa[j]]);
j++;
}
while(tb&&qb[i]<sb[tb])tb--;
f[qb[i]]=min(f[qb[i]],ask(1,0,n,a[sb[tb]],a[qb[i]]));
sb[++tb]=qb[i];
}
for(i=1;i<=ta;i++)change(1,0,n,a[sa[i]],inf);
solve(mid+1,r);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
n++;
a[n]=n;
for(i=1;i<=n;i++)f[i]=inf;
build(1,0,n);
solve(0,n);
printf("%d",f[n]);
}
F. Lonely Dreamoon 2
将序列排序。
当$n$是偶数时从中间劈开，然后对应排名相互配对。
当$n$是奇数时枚举shift的次数，取最优的进行配对。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200010;
int n,m,i,j,x,y,a[N],w[N];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&w[i]);
sort(w,w+n);
if(n&1){
m=n/2;
for(i=j=m;i<n;i++)if(w[i]-w[i-m]<w[j]-w[j-m])j=i;
x=j,y=(x+m)%n;
for(i=0;i<n;i+=2,x=(x+n-1)%n)a[i]=x;
for(i=1;i<n;i+=2,y=(y+n-1)%n)a[i]=y;
}else{
for(i=1,j=0;i<n;i+=2,j++)a[i]=j;
for(i=0;i<n;i+=2,j++)a[i]=j;
}
for(i=0;i<n;i++)printf("%d ",w[a[i]]);
}
G. Dreamoon and NightMarket
将食物从小到大排序，用堆记录$($代价$,$最贵的食物$)$，每次要么新加入一个更贵的食物，要么把最贵的换成更贵的。时间复杂度$O(n\log n+k\log k)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int>P;
int n,m,i,a[200010];P t;priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >q;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+n+1);
q.push(P(a[1],1));
while(m--){
t=q.top();
q.pop();
if(t.second==n)continue;
q.push(P(t.first-a[t.second]+a[t.second+1],t.second+1));
q.push(P(t.first+a[t.second+1],t.second+1));
}
printf("%I64d",t.first);
}
H. Split Game
把点极角排序之后扫描线，考虑每个角对区域个数的影响。时间复杂度$O(n\log n)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
int n,i,j,b[N],t,x,ans;
struct P{
int x,y;
P(){}
P(int _x,int _y){x=_x,y=_y;}
P operator-(const P&b){return P(x-b.x,y-b.y);}
}a[N];
inline ll cross(const P&a,const P&b){return 1LL*a.x*b.y-1LL*a.y*b.x;}
inline bool cmp(int x,int y){
return cross(a[x],a[y])>0;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
a[0]=a[n];
a[n+1]=a[1];
for(i=1;i<=n;i++)b[i]=i;
sort(b+1,b+n+1,cmp);
for(i=1;i<=n;i=j){
x=0;
for(j=i;j<=n&&!cross(a[b[i]],a[b[j]]);j++){
if(cross(a[b[j]+1],a[b[j]])>0&&cross(a[b[j]-1],a[b[j]])>=0){
if(cross(a[b[j]-1]-a[b[j]],a[b[j]+1]-a[b[j]])<0)t--;
else x--;
}
if(cross(a[b[j]-1],a[b[j]])<0&&cross(a[b[j]+1],a[b[j]])<=0){
if(cross(a[b[j]-1]-a[b[j]],a[b[j]+1]-a[b[j]])>0)t++;
else x++;
}
}
ans=max(ans,t);
t+=x;
ans=max(ans,t);
}
printf("%d",ans+1);
}
I. Tree Game
贪心，记录每个子树里尚未配对的叶子数。
若有多于两棵子树尚未配对的叶子数为$1$，那么这些只能配掉。
若有多于一棵子树尚未配对的叶子数为$2$，那么这些只能配掉。
若有多于一棵子树尚未配对的叶子数为$1$，那么先考虑能否去和叶子数为$2$的子树进行配对。
否则最多向父亲贡献$2$个叶子。
时间复杂度$O(n)$。
#include<cstdio>
const int N=100010;
int n,i,x,y,g[N],v[N<<1],nxt[N<<1],ed,d[N],ans;
inline void add(int x,int y){v[++ed]=y;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;d[x]++;}
int dfs(int x,int y){
if(d[x]==1)return 1;
int A=0,B=0;
for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(v[i]!=y){
int t=dfs(v[i],x);
if(t==1)A++;
if(t==2)B++;
}
while(A>2)ans++,A-=2;
while(B>1)ans++,B-=2;
while(A>1&&B)ans++,A--,B--;
A+=B*2;
return A<2?A:2;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
if(n<=3)return puts("1"),0;
for(i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
for(i=1;i<=n;i++)if(d[i]>1){
if(dfs(i,0)==2)ans++;
return printf("%d",ans),0;
}
}
J. Zero Game
枚举一个区间，踢掉里面所有的$1$，然后剩下的机会都从外面拿$0$进来。
设$s[i]$表示前$i$个里有多少个$1$，那么对于区间$[l+1,r]$，首先要满足$s[r]-s[l]\leq k$，答案为$r-l-2(s[r]-s[l])+k$，即$(r-2s[r])-(l-2s[l])+k$。
枚举$l$，双指针出可行的$r$，然后用单调队列求出最优的$r$即可。
时间复杂度$O(nq)$。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1000010;
int n,m,k,i,j,s[N],f[N],h,t,q[N],ans;char a[N];
int main(){
scanf("%s",a+1);
n=strlen(a+1);
for(i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+(a[i]=='1');
for(i=0;i<=n;i++)f[i]=i-s[i]*2;
scanf("%d",&m);
while(m--){
scanf("%d",&k);
h=1,t=0;
ans=-N*10;
for(i=j=0;i<=n;i++){
while(j<=n&&s[j]-s[i]<=k){
while(h<=t&&f[j]>=f[q[t]])t--;
q[++t]=j++;
}
while(h<=t&&q[h]<=i)h++;
if(h<=t)ans=max(ans,f[q[h]]-f[i]);
}
ans+=k;
ans=max(ans,0);
ans=min(ans,n-s[n]);
printf("%d\n",ans);
}
}
