从“两阶段”到“距离单目标”：VRPTW 真的“换目标”了吗？

从“两阶段”到“距离单目标”：VRPTW 真的“换目标”了吗？

副标题： 从问题定义、基准协议到算法设计，理解“先减车辆、再减距离”为何在现代论文中不再总是显式出现

适读对象： 运筹优化、智能优化、车辆路径与物流调度方向的研究生
关键词： VRPTW；层级优化；词典序目标；车辆数；总行驶距离；SINTEF；DIMACS；HGS；PyVRP
资料范围： 截至 2026 年 8 月可检索的论文与官方基准说明

导语：我们看到的，究竟是“算法退潮”还是“问题换了定义”？

在经典车辆路径问题（Vehicle Routing Problem with Time Windows, VRPTW）的启发式文献中，曾经有一条非常醒目的技术路线：

1. 第一阶段尽可能减少车辆数；
2. 第二阶段在车辆数固定后最小化总行驶距离。

Bent 和 Van Hentenryck（2004）、Lim 和 Zhang（2007）以及 Nagata、Bräysy 和 Dullaert（2010）都是这一路线的代表性工作。[4–6]

然而，阅读近年来的精确算法、开源求解器以及大规模 VRPTW 论文时，我们又经常看到另一种表述：车辆数或可用车队规模预先给定，算法只最小化总行驶距离。2021—2022 年 DIMACS VRPTW 挑战赛、其优胜 HGS 求解器，以及后续 PyVRP 都属于这一体系。[9–11]

于是，一个很自然的问题出现了：

既然两阶段方法曾经如此常用，为什么现在很多论文不再先求最少车辆，而只优化距离？

本文的核心结论是：

这并不意味着两阶段方法已经过时，更不意味着学界证明了“车辆数不重要”。更准确的解释是：不同文献采用了不同的问题语义、基准协议和评价指标。评价规则改变后，算法自然围绕新的规则演化，于是形成了“越来越少优化车辆数”的文献表象。

需要提前说明的是，本文所说的“趋势”是对经典基准、精确算法和现代大规模求解器这条研究主线的证据性观察，并非一项覆盖全部 VRPTW 文献的计量研究。若要断言“全领域中两阶段论文的比例逐年下降”，仍需要单独开展系统性文献检索和统计分析。

一、先把四种容易混淆的“VRPTW 目标”分开

设：

• \(K(x)\)：解 \(x\) 使用的车辆数；在标准单仓库、单行程 VRPTW 中，它也等于非空路线数；
• \(D(x)\)：解 \(x\) 的总行驶距离；
• \(K_{\max}\)：给定的可用车辆上限；
• \(\Omega\)：满足客户覆盖、容量和时间窗等约束的可行域。

文献中至少存在以下四种不同的优化语义。

范式	数学表达	真正回答的问题
层级／词典序优化	\(\min_{x\in\Omega}^{\mathrm{lex}}\big(K(x),D(x)\big)\)	先找到最少车辆数，再在所有最少车辆解中寻找最短距离
固定或受限车队的距离优化	\(\min D(x)\)，且 \(K(x)\le K_{\max}\)	在现有车队条件下，怎样把当天路线走得最短
综合经济成本优化	\(\min \{c_KK(x)+c_DD(x)+c_TT(x)+c_EE(x)+\cdots\}\)	在车辆固定成本、里程、人工、能源和排放之间进行货币化权衡
Pareto 多目标优化	\(\min \big(K(x),D(x)\big)\)	输出一组互不支配解，让决策者观察“少用车”和“少走路”之间的权衡

这四种模型不是同一件事。

1. 词典序目标不等于一般的双目标优化

在词典序目标中，减少一辆车具有绝对优先级。只要车辆数更少，无论距离增加多少，解都更优。例如：

• 解 A：\(K=10\)，\(D=1000\)；
• 解 B：\(K=9\)，\(D=10000\)。

严格词典序仍然选择 B。换言之，它隐含了“减少一辆车的价值高于任何可能的距离节省”。这在车队配置具有战略意义时可能合理，但并非适用于所有运营场景。

2. 固定车队的距离目标没有“漏掉”车辆数

若企业已经拥有 20 辆车，或班次、司机和车辆资源在更高层决策中已经确定，那么车辆数在日常路径规划中是一个外生约束，而不是需要再次优化的目标。此时最小化距离完全符合决策层级。

3. 综合成本也不等于词典序目标

若每启用一辆车的固定成本为 \(c_K\)，每单位距离成本为 \(c_D\)，那么车辆数与距离之间存在有限的经济交换率。只有在 \(c_K\) 大到足以压过任意可行距离差时，加权和才可能等价于词典序排序。随意设置一个“大权重”并不能自动保证这种等价性，还可能造成数值稳定性问题。

因此，看到两篇文章都写“研究 VRPTW”，不能据此认为它们求解的是同一个优化问题。首先要检查目标语义，其次才是比较算法。

二、历史链路：距离单目标并不是最近才出现的

2.1 1987 年：同一时期已经存在不同问题语义

Solomon（1987）提出了后来被广泛使用的 56 个 100 客户基准实例，并系统比较了多种构造启发式。[1] 但不宜把今天 SINTEF 排行榜中的严格词典序规则直接归因于 Solomon 原文。

一个很有说明力的事实是：同样在 1987 年，Kolen、Rinnooy Kan 和 Trienekens 研究的 VRPTW 就明确采用固定车队并最小化总路线长度的定义。[2] 这说明“车辆优先”和“距离优先／距离单目标”从早期开始就是并存的研究传统，而不是后来才发生的一次整齐划一的目标切换。

2.2 1999—2010 年：层级目标与两阶段启发式形成强势传统

Gehring 和 Homberger（1999）把经典实例扩展到 200—1000 个客户。[3] 随后，一批高性能启发式方法采用了层级目标，并把算法显式拆分为车辆压缩和距离优化两个阶段：

• Bent 和 Van Hentenryck（2004）：第一阶段用模拟退火减少车辆数，第二阶段用大邻域搜索降低旅行成本；[4]
• Lim 和 Zhang（2007）：第一阶段通过 ejection pool 减少车辆，第二阶段通过多起点迭代爬山和广义弹射链缩短距离；[5]
• Nagata、Bräysy 和 Dullaert（2010）：先调用路线数最小化程序，再运行基于边组装的模因算法优化距离。[6]

Nagata 等人在论文第 724—725 页给出了非常关键、但必须放回时代背景中理解的总结：[6]

• VRPTW 中既常见总距离目标，也常见“车辆数第一、距离第二”的层级目标；
• 当时的精确算法传统上多采用总距离单目标；
• 当时领先的层级启发式普遍采用两阶段框架。

这里的“领先方法普遍如此”是对 2010 年前后特定文献集合的综述性判断，不是一个跨时代定理，也不能被改写成“所有 VRPTW 都应该采用两阶段”。

Nagata 等人的表 1 还显示，在 Solomon 的 56 个 100 客户实例上，被比较算法的累计车辆数均达到当时最佳已知值 405。[6] 当车辆数这一维度在一组基准上已经高度饱和后，算法之间主要依靠距离继续拉开差距。这是后来研究更重视距离质量的一个实际背景，但它并不能单独解释所有文献变化。

2.3 SINTEF：把层级目标正式固化为一个排行榜协议

SINTEF 的 Gehring–Homberger 基准页面明确规定：[7]

1. 首先最小化车辆数；
2. 然后最小化总距离；
3. 距离和时间使用双精度计算，最终距离保留两位小数。

该页面同时提醒：许多精确算法只最小化距离，并使用整数或较低精度的距离与时间，因此结果不能直接比较。[7]

这句话非常重要。它说明所谓“最佳已知解”并不是脱离协议而存在的绝对数字；目标优先级、距离精度和舍入方式不同，就形成了不同的成绩体系。

2.4 精确算法传统：长期围绕最小成本或最小距离建模

Nagata 等人 2010 年的综述已经指出精确算法的距离单目标传统。[6] 后续代表性工作仍延续了这一方向。例如，Pecin 等人（2017）把 VRPTW 定义为寻找满足需求和时间窗的最小成本车辆路线，并用 branch-price-and-cut 求得全部 56 个 Solomon 实例以及 60 个 200 客户 Gehring–Homberger 实例中的 51 个最优解。[8]

因此，不能把现代距离单目标简单理解为“启发式领域放弃了过去的共识”。更准确的历史图景是：

层级启发式与距离单目标精确算法长期并行发展；不同研究社区只是选择了不同的主问题。

2.5 2021—2025 年：DIMACS、HGS、PyVRP 与大规模分解强化了距离单目标主线

2021—2022 年第 12 届 DIMACS 实现挑战赛为现代求解器建立了一套影响很大的 VRPTW 协议。官方问题页将可行解定义为使用不超过给定车辆数的路线集合，并以距离作为优化对象。[10]

Kool 等人（2022）的优胜 HGS 技术报告进一步把规则写得很清楚：[9]

• 目标只最小化距离，不最小化车辆数；
• 欧氏距离截断到一位小数；
• 每个实例给定可用车辆数；
• SINTEF 采用双精度并把车辆数作为第一目标，因此两套参考解不能混为一谈。

2024 年发表在 INFORMS Journal on Computing 的 PyVRP 延续了 DIMACS 约定。论文第 2 节明确说明：PyVRP 支持距离最小化，不直接最小化车辆数；若要做车队最小化，可以在求解器外层先得到一个可行解，再逐次删减一辆车，直到无法找到可行解。[11]

这恰好揭示了“两阶段消失”的一个关键机制：

车辆最小化没有必然消失，它可能从求解器的内部目标函数移动到了外层控制程序。

到了 2025 年，Kerscher 和 Minner 的 Decompose–Route–Improve 框架继续在固定车队、最小旅行成本的语义下研究大规模 VRPTW，并将实验规模扩展到 30,000 个客户。[12] 这表明，在“大规模可扩展求解”这一前沿方向上，固定车队加距离目标已经形成一条清晰且活跃的技术路线。

2.6 一张表看清演化脉络

时间与代表工作	采用的目标／协议	它说明了什么
Solomon（1987）[1]	经典实例与启发式比较	奠定公共测试基础，但不能与后来的 SINTEF 排名规则完全等同
Kolen 等（1987）[2]	固定车队，最小总路线长度	距离单目标从早期就存在
Homberger–Gehring（1999）[3]	扩展至 200—1000 客户	为大规模层级启发式竞争提供实例基础
Bent（2004）、Lim（2007）[4,5]	先车辆数、后距离	显式两阶段方法成为代表性路线
Nagata 等（2010）[6]	区分精确算法的距离传统与启发式的层级传统	记录了当时两条研究支流并存的状态
SINTEF 排行榜[7]	词典序 \((K,D)\)，双精度	固化层级目标的比较协议
Pecin 等（2017）[8]	最小成本／距离的精确求解	精确算法继续采用单成本主问题
DIMACS–HGS（2021—2022）[9,10]	\(K\le K_{\max}\)，仅最小化一位小数距离	建立现代可复现竞赛协议
PyVRP（2024）[11]	内核优化距离；车队压缩可置于外层	两阶段被模块化，而非被否定
Kerscher–Minner（2025）[12]	固定车队、旅行成本；最高 30,000 客户	距离单目标与超大规模研究结合

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三、为什么现代算法论文更常显式优化距离？

原因一：基准协议决定了研究激励

算法研究高度依赖公共基准。如果排行榜按 \((K,D)\) 的词典序排序，研究者就会优先设计路线删除、客户弹射和车辆压缩机制；如果竞赛按距离、运行时间或 primal integral 评分，研究者就会把算力集中到更快地降低距离。

逻辑链条是：

问题语义 → 基准协议 → 评分指标 → 算法组件 → 论文中的“主流方法”

DIMACS 的影响不仅在于举办了一次竞赛，还在于它提供了统一的数据处理、计时和评价规则。获胜算法被开源并演化成 PyVRP 后，大量后续研究自然继承了相同目标。

原因二：车辆数可能已经在更高层决策中确定

车辆采购、长期租赁、司机招聘属于战略或战术层决策；每日配送路线属于运营层决策。在许多企业场景中，算法运行时可用车辆已经确定。此时强行把“最少车辆”设为第一目标，反而可能改变原问题。

因此，现代文献中的固定车队并不必然代表模型退化，而可能代表决策边界更加清晰。

原因三：严格词典序隐含了极强的经济偏好

词典序模型愿意为减少一辆车接受任意大的距离增加。现实中，车辆固定成本、司机成本和里程成本通常都有限，企业更可能优化：

\[\text{总成本}=\text{车辆固定成本}+\text{司机成本}+\text{燃料成本}+\text{排放成本}+\text{迟到或服务成本}. \]

例如，Liu 等人（2020）的时变城市物流 VRPTW 同时计入已用车辆的固定成本、司机成本、燃料消耗和碳排放。[13] 这类应用研究并不是简单地从“双目标”退回“距离单目标”，而是从抽象的词典序规则转向了更丰富的综合成本。

原因四：车辆数是离散且稀疏的信号，距离是连续且密集的信号

在局部搜索或进化搜索中，大量不同解可能具有相同车辆数，而距离能够更细致地区分它们。尤其当一个基准集合的最佳车辆数已经被多数算法达到时，继续比较车辆数几乎没有分辨率，距离便自然成为主要质量指标。

这不意味着车辆数不难。恰恰相反，从 \(K\) 辆压缩到 \(K-1\) 辆往往需要大规模重构路线，是一个明显的“台阶式”搜索过程。两阶段方法正是通过把这个离散跳跃与固定 \(K\) 下的距离微调分离，来稳定搜索过程。

原因五：固定 \(K\) 更利于形成通用、可复现的求解器内核

当车辆数固定或只作为上限时，解表示、交叉、局部搜索、罚函数和距离增量评价都可以围绕一个稳定的路线结构实现。一个高性能距离求解器还可以被复用于 CVRP、VRPTW 及许多富车辆路径变体。

这也是 PyVRP 采用“距离内核 + 外层车队压缩”的工程理由：核心求解器保持通用，层级目标由包装程序实现。[11]

不过，必须避免一个错误推论：距离单目标在数学上并不天然比词典序目标“更正确”或“唯一可求解”。 词典序目标可以通过两次优化、向量比较、\(\varepsilon\)-约束，或在拥有安全上界时用严格的大权重编码。区别主要在于研究问题和软件架构，而不是能不能算。

原因六：应用型 VRP 的目标正在变得更丰富

绿色物流、电动车、时变路网、冷链、服务公平性和客户不便成本等研究，常常把距离与能源、时间、排放、服务质量共同纳入模型。现代应用文献的变化，更准确地说是从“只比较车辆数和距离”走向“显式描述运营成本与服务后果”。

因此，“现在的文章都只求距离”本身也是过度概括：

• 在经典基准和通用求解器文献中，距离单目标确实很突出；
• 在真实应用与富 VRP文献中，综合成本或多目标模型反而越来越常见；
• 在车队配置问题中，车辆数仍然是核心决策。

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四、两阶段方法并没有消失：它只是以三种形式继续存在

形式一：显式的“车辆压缩—距离优化”

这就是 Bent、Lim、Nagata 等经典方法。第一阶段改变路线数量，第二阶段在固定车辆数下精修距离。[4–6]

形式二：距离求解器外部的 route-elimination wrapper

PyVRP 给出的建议就是典型例子：在 \(K\) 辆下找到可行解，然后尝试 \(K-1\) 辆；成功则继续减少，失败则停止。[11] 从算法结构看，这仍然是两层求解，只是核心求解器本身只认识距离目标。

形式三：综合成本模型中的隐式车辆权衡

当目标函数包含车辆固定成本时，减少一辆车会直接降低目标值，但是否值得要与额外距离、司机工时或能源成本共同决定。此时不再需要把车辆数设成绝对第一目标，却仍然在优化车队使用。

所以，与其问“两阶段为什么消失”，不如问：

车辆数在这篇论文里究竟是第一优先级、约束、成本项，还是被放在了外层算法？

这个问题通常可以在问题定义和实验协议中找到答案。

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五、一个必须严谨处理的问题：没有找到可行解，不等于证明不可行

很多启发式两阶段算法采用如下过程：

1. 在 \(K\) 辆车下搜索可行解；
2. 找到后尝试 \(K-1\) 辆；
3. 若在时限内没有找到 \(K-1\) 辆可行解，则返回 \(K\)。

这一过程可以得到很好的车辆数，但其逻辑边界必须说清楚。

设真实最少车辆数为 \(K^*\)，算法当前找到的最好车辆数为 \(\hat K\)。若启发式在 \(K-1\) 辆下失败，只能说明：

\[K^*\le \hat K=K, \]

不能据此证明 \(K^*=K\)。失败可能意味着 \(K-1\) 确实不可行，也可能只是搜索时间不足、初始化不佳或算法陷入局部区域。

只有在以下情形之一成立时，才可以严格声称找到了最少车辆数：

• 找到一个可行解，其车辆数等于一个已证明的下界；
• 使用精确方法证明 \(K-1\) 辆不可行；
• 获得其他有效的不可行性证书。

最常见的容量下界为：

\[LB_Q=\left\lceil\frac{\sum_i q_i}{Q}\right\rceil. \]

如果算法找到了 \(LB_Q\) 辆的可行解，那么 \(K^*=LB_Q\) 可以被证明。反之，如果算法在 \(LB_Q\) 辆下没有找到解，并不能说明 \(LB_Q\) 辆必然不可行；时间窗还可能使这个下界偏弱。

因此，启发式论文中建议使用以下表述：

• “best-found number of vehicles”；
• “smallest fleet size found within the time budget”；
• “best-known fleet size”；
• 只有获得证明时才写 “minimum fleet size” 或 “optimal number of vehicles”。

实验中还可以同时报告 \([LB,\hat K]\)、达到已知最佳车辆数的成功率、首次找到该车辆数的时间，以及固定该车辆数后的距离质量。这样比只报告一个最终距离更能揭示两阶段算法的真实能力。

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六、阅读和比较 VRPTW 论文时，至少检查这五件事

检查项	需要回答的问题	若忽略会发生什么
目标语义	是词典序 \((K,D)\)、固定车队距离、综合成本还是 Pareto？	把不同问题的“最优解”混在一起
车辆规则	\(K\) 是决策变量、硬上限、固定值还是固定成本项？	误以为距离算法忽略了车辆数
距离与时间精度	双精度、整数、四舍五入还是截断到一位小数？	同一路线得到不同可行性和距离
可行性定义	时间窗边界、仓库关闭时间、等待、服务时间如何处理？	得到不可复现或实际不可行的结果
最优性口径	是证明最优、最佳已知、单次最好、均值还是成功率？	把启发式失败误写成不可行证明

尤其要记住：SINTEF 与 DIMACS 即使使用同名 Solomon 或 Gehring–Homberger 实例，其目标优先级和数值精度也不同，距离结果不能直接横向排名。[7,9,10]

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七、三个常见误区

误区一：“近年来只优化距离，说明车辆数已经不重要”

错误。它可能意味着车辆数已被固定、已在更高层决定、已转化为成本项，或由外层程序处理。

误区二：“先车辆、后距离就是 Pareto 多目标算法”

错误。严格先后顺序属于词典序优化，只选择一种预设偏好；Pareto 优化通常输出多种权衡解。

误区三：“尝试 \(K-1\) 辆失败，所以 \(K\) 就是最少车辆数”

对启发式算法而言不成立。除非达到已证明下界或获得不可行性证书，否则只能说 \(K\) 是当前找到的最好车辆数。

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结语：看似是“方法变了”，实质是“评价问题变了”

回到最初的问题：为什么现在很多文章不再显式采用“先车辆数、再距离”的两阶段方法？

完整答案不是一句“因为距离更重要”，而是一条因果链：

1. 决策场景不同：车队可能是战略变量，也可能是已知运营资源；
2. 问题定义不同：词典序、固定车队、综合成本和 Pareto 回答的是不同问题；
3. 基准协议不同：SINTEF 奖励 \((K,D)\)，DIMACS 奖励给定车队下的距离与速度；
4. 评价指标不同：车辆压缩成功率、距离差距和 anytime 性能会引导不同算法设计；
5. 软件架构不同：现代求解器常把距离优化放在通用内核中，把车辆压缩放到外层；
6. 文献表象随之改变：我们看到更多距离单目标论文，但两阶段思想仍以显式阶段、外层包装或综合成本的形式存在。

所以，真正严谨的研究问题不是“应该选两阶段还是距离单目标”，而是：

在我的决策场景中，车辆数究竟是什么变量？我采用哪一套可复现的基准协议？算法声称的“最少车辆”是否获得了证明？

把这三个问题回答清楚，算法设计、相关工作和实验比较才会落在同一条逻辑链上。

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参考文献

[1] Solomon, M. M. (1987). Algorithms for the Vehicle Routing and Scheduling Problems with Time Window Constraints. Operations Research, 35(2), 254–265. https://doi.org/10.1287/opre.35.2.254

[2] Kolen, A. W. J., Rinnooy Kan, A. H. G., & Trienekens, H. W. J. M. (1987). Vehicle Routing with Time Windows. Operations Research, 35(2), 266–273. https://doi.org/10.1287/opre.35.2.266

[3] Homberger, J., & Gehring, H. (1999). Two Evolutionary Metaheuristics for the Vehicle Routing Problem with Time Windows. INFOR: Information Systems and Operational Research, 37(3), 297–318. https://doi.org/10.1080/03155986.1999.11732386

[4] Bent, R., & Van Hentenryck, P. (2004). A Two-Stage Hybrid Local Search for the Vehicle Routing Problem with Time Windows. Transportation Science, 38(4), 515–530. https://doi.org/10.1287/trsc.1030.0049

[5] Lim, A., & Zhang, X. (2007). A Two-Stage Heuristic with Ejection Pools and Generalized Ejection Chains for the Vehicle Routing Problem with Time Windows. INFORMS Journal on Computing, 19(3), 443–457. https://doi.org/10.1287/ijoc.1060.0186

[6] Nagata, Y., Bräysy, O., & Dullaert, W. (2010). A Penalty-Based Edge Assembly Memetic Algorithm for the Vehicle Routing Problem with Time Windows. Computers & Operations Research, 37(4), 724–737. https://doi.org/10.1016/j.cor.2009.06.022

[7] SINTEF. Gehring & Homberger VRPTW Benchmark—200 Customers. 官方页面明确给出层级目标与双精度规则，其他规模页面采用同一说明。访问日期：2026-08-17. https://www.sintef.no/projectweb/top/vrptw/200-customers/

[8] Pecin, D., Contardo, C., Desaulniers, G., & Uchoa, E. (2017). New Enhancements for the Exact Solution of the Vehicle Routing Problem with Time Windows. INFORMS Journal on Computing, 29(3), 489–502. https://doi.org/10.1287/ijoc.2016.0744

[9] Kool, W., Olde Juninck, J., Roos, E., Cornelissen, K., Agterberg, P., van Hoorn, J., & Visser, T. (2022). Hybrid Genetic Search for the Vehicle Routing Problem with Time Windows: A High-Performance Implementation. Technical report for the 12th DIMACS Implementation Challenge. https://wouterkool.github.io/pdf/paper-kool-hgs-vrptw.pdf

[10] DIMACS. 12th DIMACS Implementation Challenge—VRP with Time Windows. 官方问题与可行性协议。访问日期：2026-08-17. https://dimacs.rutgers.edu/programs/challenge/vrp/vrptw/

[11] Wouda, N. A., Lan, L., & Kool, W. (2024). PyVRP: A High-Performance VRP Solver Package. INFORMS Journal on Computing, 36(4), 943–955. https://doi.org/10.1287/ijoc.2023.0055

[12] Kerscher, C., & Minner, S. (2025). Decompose–Route–Improve Framework for Solving Large-Scale Vehicle Routing Problems with Time Windows. Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review, 204, 104409. https://doi.org/10.1016/j.tre.2025.104409

[13] Liu, C., Kou, G., Zhou, X., Peng, Y., Sheng, H., & Alsaadi, F. E. (2020). Time-Dependent Vehicle Routing Problem with Time Windows of City Logistics with a Congestion Avoidance Approach. Knowledge-Based Systems, 188, 104813. https://doi.org/10.1016/j.knosys.2019.06.021

[14] Vidal, T., Crainic, T. G., Gendreau, M., & Prins, C. (2013). A Hybrid Genetic Algorithm with Adaptive Diversity Management for a Large Class of Vehicle Routing Problems with Time-Windows. Computers & Operations Research, 40(1), 475–489. https://doi.org/10.1016/j.cor.2012.07.018

[15] Nagata, Y., & Kobayashi, S. (2010). A Memetic Algorithm for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows Using Selective Route Exchange Crossover. In Parallel Problem Solving from Nature—PPSN XI, LNCS 6238, 536–545. https://doi.org/10.1007/978-3-642-15844-5_54

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