[SDOI2014]数表
[SDOI2014]数表
一.题意简述
题目要求的是
\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sigma(gcd(i,j))<a\\
\]
那个是除数函数啦。（不知道的自己百度）
二.解题思路
有什么思路，干就完了，奥利给！！这个\(<a\)很碍眼，反手扔了不虚他。于是要求解
\[\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}
\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sigma(d)[gcd(i,j)=1]\\
\]
虽说这一步跨度有点大，但是是可以理解的，对于大多数gcd都会选择起手枚举gcd的值，而这里的\(i,j\)相当于是系数一样的东西叭。由于是枚举的最大公约数，所以\(i,j\)要互质才好,这是常规操作。
现在发现了一只野生的\(\epsilon\)，（如果读不懂这句话请先看这篇文章)，那么就把他换成\(\mu\).（基操）
\[\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}
\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sigma(d)\sum\limits_{k|gcd(i,j)}^{}\mu(k)\\
\]
然后走一波换位+基操
\[\sum\limits_{d=1}^{n}\sigma(d)\sum\limits_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(k)
\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor\\
\]
其实这里也是在枚举gcd，跟上面思路差不多，再不想让d干扰，换了个位置。
\[(p=dk)\sum\limits_{p=1}^{n}\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\lfloor\frac{m}{p}
\rfloor\sum\limits_{d|p}^{}\mu(d)\sigma(\frac{p}{d})
\]
乘积形式的分母不好看，换一手元，交换位置。
本来这样就好了，但是题目有个a。于是想着怎么把他找回来，加进去吧
\[(p=dk)\sum\limits_{p=1}^{n}\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\lfloor\frac{m}{p}
\rfloor\sum\limits_{d|p}^{}\mu(d)\sigma(\frac{p}{d})\\
\sum\limits_{d|p}^{}\mu(d)\sigma(\frac{p}{d})<a
\]
这个应该能看懂，首先以求和符号作为分界记后面的那一堆为\(g(p)\)好了，然后考虑一下\(\mu\)函数的性质，了解到\(\sigma(\frac{p}{d})<=a\)才对答案有贡献，然而又有多组数据，并且除数函数值的大小跟参数大小没有什么关系，是乱的。（开始暴躁）
不过不慌，我们把\(\sigma\)和a都拉来排个序，新的a出现时便用符合条件的\(\sigma\)去更新\(g\)，再用数论分块算一算。（还是看代码吧）
三.CODE
#define ll long long
#define m_for(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define lowbit(x) x&(-x)
inline int read() {
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') {
if(ch=='-')w=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
const int MAXN=1e5+1,MAXQ=2*1e4+1;
ll mod=1LL<<31;
int prime[MAXN],tot,mu[MAXN];
ll g[MAXN];
pair<int,int> sigma[MAXN];
bool vis[MAXN];
void m_p(int x){
sigma[1].first=sigma[1].second=1;
mu[1]=1;
m_for(i,2,x){
sigma[i].first++;
if(!vis[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=x;++j){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
for(int j=i;j<=x;j+=i)sigma[j].first=(sigma[j].first+i)%mod;
sigma[i].second=i;
}
sort(sigma+1,sigma+x+1);
}
struct alf{
int n,m,a,id;
}que[MAXQ];
bool cmp(alf c,alf b){
return c.a<b.a;
}
int tree_g[MAXN];
void change(int x,int y){
for(;x<MAXN;x+=lowbit(x))tree_g[x]+=y;
}
ll sum(int x){
ll res=0;
for(;x>0;x-=lowbit(x))res+=tree_g[x];
return res;
}
ll solve(int n,int m){
if(n>m)swap(n,m);
ll res=0;
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
res+=1LL*(n/l)*(m/l)*(sum(r)-sum(l-1));
res%=mod;
}
return (res%mod+mod)%mod;
}
int q,res=1;
int ans[MAXQ];
int main(){
m_p(MAXN);
q=read();
m_for(i,1,q)que[i].id=i,que[i].n=read(),que[i].m=read(),que[i].a=read();
sort(que+1,que+q+1,cmp);
m_for(i,1,q){
while(sigma[res].first<=que[i].a&&res<=MAXN){
for(int j=1;j*sigma[res].second<=MAXN;++j)
change(j*sigma[res].second,mu[j]*sigma[res].first);
res++;
}
ans[que[i].id]=solve(que[i].n,que[i].m)%mod;
}
m_for(i,1,q)cout<<ans[i]<<endl;
return 0;
}
