线性代数-3Blue1Brown《线性代数的本质》特征向量与特征值（12） - 详解

本文是3B1B 《线性代数的本质》系列视频之 征向量与特征值 的学习笔记。

1、几何理解

特征向量是线性变换中方向始终不变，只发生伸缩（或反向）的非零向量。特征值则描述了该方向被拉伸或压缩的倍数。

特征向量是在变换中只被拉伸或压缩，而不被旋转出自身直线的向量。

线性变换时，特征向量拒绝“转向”，只接受“伸缩”或“反向”（反向是伸缩倍数为负数的伸缩，方向依然在同一条直线上）

特征值λ是特征向量的伸缩系数，λ>0时，向量与原方向同向，|λ|>1拉伸，|λ|<1缩短；λ<0时，向量与原方向反向，|λ|决定伸缩幅度；λ=0时，向量被压缩到原点（无意义）。

形象比喻

• 地球仪旋转：地轴方向就是特征方向
• 在一个画满箭头的画布，拉伸画布，箭头方向不变，长度放大的箭头就是特征向量箭头

缩放

矩阵 $$A=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$$

• 特征向量就是坐标轴方向
• x方向拉伸3倍，特征值=3
• y方向拉伸2倍，特征值=2

旋转90°

$$A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
所有向量旋转90°，所有方向都改变，无特征向量。

2、特征方程

1.对于一个$n\times n$ 方阵 $A$，如果存在 非零向量$v$ 和 标量 $\lambda$ 使得：$Av=\lambda v$

• $\lambda$称为特征值（标量）
• $v$ 称为对应 $\lambda$ 的特征向量

2.移项：$Av-\lambda v=0$

3.插入单位矩阵$I$： $Av-\lambda Iv=0$

为什么需要 $\lambda I$ 而不是 $\lambda$？
因为 $A$ 是矩阵，$\lambda$是标量，不能直接相减
通过单位矩阵$I$ 将$\lambda$转换为矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$$

4.提取$v$：$(A-\lambda I)v=0$
5.要有非零解$v$，得到特征方程：$det(A-\lambda I)=0$

线性代数-3Blue1Brown《线性代数的本质》行列式（7）