完整教程：第3节——differentiation rules（求导法则）

3. 求导法则

• 求导不是记忆，而是规则 + 组合的艺术。

3.1 基本求导公式（必须记住）
3.2 加法法则
3.3 乘法法则（Product Rule）
3.4 链式法则（Chain Rule）最重要
3.5 Python 验证 + 可视化
3.6 本节练习

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3.1 基本求导公式（记住这 7 条就够了）

函数	导数
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$1/x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

• 这 7 条是整个求导体系的基础。

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3.2 加法法则

$$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$$
例：$$(x^2+\sin x{)}^{\prime }=2x+\cos x$$

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3.3 乘法法则

• 乘法法则的本质：两个变量同时变化时，它们的乘积变化需要两部分贡献。
• 公式：
  $$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$
• 记作：前导 × 后 + 前 × 后导
• 例：$$(x^2\sin x{)}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$$

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3.4 链式法则

• 链式法则负责处理“嵌套结构”。
• 如果一个函数里面又包着一个函数，就用链式法则。
• 形式：
  $$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$
• 记作：外导内不动 × 内导
• 例 1：$(2x+1{)}^5$
  
  外：$u^5$
  
  内：$u=(2x+1)$
  $$5(2x+1{)}^4\cdot 2$$
• 例 2：$\sin x^2$
  
  外：$sin$
  
  内：$x^2$
  $$\cos x^2\cdot 2x$$
• 例 3：$\ln \cos x$
  
  外：$ln$
  
  内：$\cos x$
  $$\frac{1}{\cos x}\cdot (-\sin x)=-\tan x$$
• 链式法则会自动“乘内导”，这是以后做深度学习梯度下降的基础工具。

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3.5 用 Python 验证上面做的导数

• 用 sympy 来检查你的答案

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
expr = (2*x+1)**5
sp.diff(expr, x)

$10{\left(2x+1\right)}^4$

expr = sp.sin(x**2)
sp.diff(expr, x)

$2x\cos \left(x^2\right)$

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3.6 Python 可视化导数（帮助理解链式法则）

• 例如：
  $$f(x)=\sin x^2$$
  $$f^{\prime }(x)=2x\cos (x^2)$$
• 绘制：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
xs = np.linspace(-3, 3, 500)
f = np.sin(xs**2)
df = 2*xs*np.cos(xs**2)
plt.plot(xs, f, label='f(x) = sin(x^2)')
plt.plot(xs, df, label="f'(x)")
plt.legend()
plt.show()

• 导数的振幅越来越大（因为 2x）

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3.7 本节练习

练习 1（加法法则）

• 求导：
  $$f(x)=x^3+5x+\sin x$$

解题 1

$f^{\prime }(x)=3x^2+5+\cos x$

练习 2（乘法法则）

$$f(x)=x^2{e}^x$$

解题 2

$f^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x$

练习 3（链式法则）

$$f(x)=(3x-1{)}^4$$

解题 3

$f^{\prime }(x)=4(3x-1{)}^3\cdot 3$

练习 4（重度链式法则）

$$f(x)=\sin \left(\ln (2x+1)\right)$$

• 提示：外 = sin，中 = ln，内 = 2x+1
• 链式法则会用两次！

解题 4

$f^{\prime }(x)=\frac{2\cos \ln 2x+1}{2x+1}$

练习 5（链式 + 乘法）

$$f(x)=x\cdot e^{x^2}$$

• （先视为乘法，再对$e^{x^2}$用链式）

解题 5

$f^{\prime }(x)=2(x^2+1)e^{x^2}$