最优化方法-5-整数规划 - 教程

min cᵀx
s.t. Ax = b
x ≥ 0
整数向量)就是x ∈ Zⁿ (x必须

长成这样的成为整数规划

NP困难问题就是类似于只取一些点,

割平面法

先解线性规划松弛，如果不是整数解，就添加约束把非整数部分切掉，但保留所有整数解

• 将整数规划(IP₀)放松为线性规划(LP₀)

• 使用单纯形法求解(LP₀)

• 若得到整数最优解，计算结束

• 当线性规划松弛的最优解不是整数时，需要生成割平面条件

假如我们有

x₁ x₂ x₃ x₄ RHS
-z 0 0 1/4 5/4 12.75
x₁ 1 0 3/4 -1/4 2.25
x₂ 0 1 -1/2 1/2 1.5

线性规划最优解：x₁ = 2.25, x₂ = 1.5, z = 12.75

缘于x₂ = 1.5不是整数,选择x₂行,取小数部分：

x₂ - 0.5x₃ + 0.5x₄ = 1.5

0.5x₃ + 0.5x₄ ≥ 0.5
即：x₃ + x₄ ≥ 1

引入松弛变量x₅：-x₃ - x₄ + x₅ = -1

加入表得到

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ RHS
-z 0 0 1/4 5/4 0 12.75
x₁ 1 0 3/4 -1/4 0 2.25
x₂ 0 1 -1/2 1/2 0 1.5
x₅ 0 0 -1 -1 1 -1

再次求解循环往复直到得解

分枝定界法

只需要检查那些'可能有希望'的解

(1) 分枝（Branching）

把大问题分成小问题

例子：假设x₁ = 2.3不是整数

• 分枝1：x₁ ≤ 2

• 分枝2：x₁ ≥ 3

这样就得到了两个更小、更具体的问题。

(2) 定界（Bounding）

计算每个子问题的'潜力'

对于每个子障碍：

• 求解线性规划松弛（去掉整数约束）

• 得到的目标函数值就是该子问题的"潜力"

最小化问题：

• 线性规划松弛值 ≤ 真实最优值（下界）

• 当前最好整数解 ≥ 真实最优值（上界）

(3) 剪枝（Pruning）

放弃没有希望的子难题

三种剪枝情况：

1. 无解剪枝：子问题没有可行解

2. 整数解剪枝：找到了整数解

3. 界限剪枝：子疑问的潜力比当前最好解还差

我们举一个例子

最小化：z = -(x₁ + x₂)
约束条件：
-4x₁ + 2x₂ ≤ -1
4x₁ + 2x₂ ≤ 11
x₂ ≥ 1/2
x₁, x₂ ≥ 0，且为整数

我们先看这张图来留下一个整体印象,然后一步步来

[原始问题]
z = -4 (x₁=1.5, x₂=2.5)
/ \
x₁ ≤ 1 x₁ ≥ 2
z = -2.5 z = -3.5
[剪枝] (x₁=2, x₂=1.5)
/ \
x₂ ≤ 1 x₂ ≥ 2
z = -3.25 [无解]
(x₁=2.25, x₂=1)
/ \
x₁ ≤ 2 x₁ ≥ 3
z = -3 [无解]
[整数解]

1：求解原始问题的线性规划松弛

去掉整数约束，求解线性规划：

最小化：z = -(x₁ + x₂)
约束条件：
-4x₁ + 2x₂ ≤ -1
4x₁ + 2x₂ ≤ 11
x₂ ≥ 1/2
x₁, x₂ ≥ 0

结果：

• 最优解：x₁ = 1.5, x₂ = 2.5

• 最优值：z = -4

这不是整数解，要求分枝。

选择分枝变量：x₁ = 1.5（不是整数）

创建两个子问题：

• 子问题1：原始挑战 + x₁ ≤ 1

• 子问题2：原始问题 + x₁ ≥ 2

2.处理子问题2（x₁ ≥ 2）

最小化：z = -(x₁ + x₂)
约束条件：
-4x₁ + 2x₂ ≤ -1
4x₁ + 2x₂ ≤ 11
x₂ ≥ 1/2
x₁ ≥ 2
x₁, x₂ ≥ 0

结果：

• 最优解：x₁ = 2, x₂ = 1.5

• 最优值：z = -3.5

不是整数解，要求继续分枝。

选择分枝变量：x₂ = 1.5（不是整数）

创建两个子子问题：

• 子问题2.1：子问题2 + x₂ ≤ 1

• 子问题2.2：子问题2 + x₂ ≥ 2

我们dfs一条路走到黑

3.处理子问题2.1（x₁ ≥ 2, x₂ ≤ 1）

最小化：z = -(x₁ + x₂)
约束条件：
-4x₁ + 2x₂ ≤ -1
4x₁ + 2x₂ ≤ 11
x₂ ≥ 1/2
x₁ ≥ 2
x₂ ≤ 1
x₁, x₂ ≥ 0

结果：

• 最优解：x₁ = 2.25, x₂ = 1

• 最优值：z = -3.25

不是整数解，需要继续分枝

选择分枝变量：x₁ = 2.25（不是整数）

创建两个子子子问题：

• 子问题2.1.1：子问题2.1 + x₁ ≤ 2

• 子问题2.1.2：子问题2.1 + x₁ ≥ 3

4：处理子难题2.1.1（x₁ ≥ 2, x₂ ≤ 1, x₁ ≤ 2）

最小化：z = -(x₁ + x₂)
约束条件：
-4x₁ + 2x₂ ≤ -1
4x₁ + 2x₂ ≤ 11
x₂ ≥ 1/2
x₁ = 2
x₂ ≤ 1
x₁, x₂ ≥ 0

结果：

• 最优解：x₁ = 2, x₂ = 1

• 最优值：z = -3

这是整数解！更新当前最好解：

• 当前最好解：x₁ = 2, x₂ = 1

• 当前最好值：z = -3

5：处理子问题2.1.2（x₁ ≥ 3, x₂ ≤ 1）

求解线性规划松弛：无可行解 →剪枝

6：处理子问题2.2（x₁ ≥ 2, x₂ ≥ 2）

求解线性规划松弛：无可行解 →剪枝

7：回到子问题1（x₁ ≤ 1）

最小化：z = -(x₁ + x₂)
约束条件：
-4x₁ + 2x₂ ≤ -1
4x₁ + 2x₂ ≤ 11
x₂ ≥ 1/2
x₁ ≤ 1
x₁, x₂ ≥ 0

• 最优解：x₁ = 1, x₂ = 1.5

• 最优值：z = -2.5

界限剪枝-3，而-2.5 > -3（对于最小化问题更差），所以这个子问题不可能找到比当前更好的解 →就是：对于最小化问题，任何子难题的整数解的目标值 ≥ 该子问题的线性规划松弛值。当前最好值剪枝