P4213 【模板】杜教筛 - 教程

题目描述

给定一个正整数 $n$，求

$$an{s}_1=\sum _{i=1}^n\phi (i)$$

$$an{s}_2=\sum _{i=1}^n\mu (i)$$

输入格式

本题单测试点内有多组数据。

输入的第一行为一个整数，表示数据组数 $T$。

接下来 $T$ 行，每行一个整数 $n$，表示一组询问。

输出格式

对于每组询问，输出一行两个整数，分别代表 $an{s}_1$ 和 $an{s}_2$。

输入输出样例 #1

输入 #1

6
1
2
8
13
30
2333

输出 #1

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le T\le 10$，$1\le n<2^{31}$。

好！把“杜教筛”（求积性函数的前缀和）的来龙去脉一步讲清楚。核心只有三件事：狄利克雷卷积恒等式、把和式按 (\big\lfloor \frac n i\big\rfloor) 分块、递归+记忆化。

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一、目标与思路

我们希望快速计算积性函数的前缀和
$$S_f(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i).$$
杜教筛利用两点：
1）狄利克雷卷积恒等式；
2）按 ($\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$) 分块（整除分块）+ 记忆化递归。

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二、狄利克雷卷积与前缀和的关系

卷积定义：
$$(f\ast g)(n)=\sum _{d\mid n}f(d),g(n/d).$$

若已知 (f*g=h)，对 (k=1,\dots,n) 求和并换序：
$$\sum _{k=1}^{n}h(k)=\sum _{k=1}^n\sum _{d\mid k}f(d)g(k/d)=\sum _{i=1}^{n}f(i)\sum _{m=1}^{\lfloor n/i\rfloor }g(m)=\sum _{i=1}^{n}f(i),S_g!(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor ).$$

设
$$H(n)=\sum _{k=1}^{n}h(k),$$
则
$$H(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i),S_g!(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor ).$$

当 ($g(1)\ne 0$) 时，把 (i=1) 项单独拿出可写成
$$H(n)=f(1),S_g(n)+\sum _{i=2}^{n}f(i),S_g!(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor ).$$
选择合适的 ($g$)（使 ($S_g$) 易算），再把右侧转化为只含 ($S_f(\lfloor n/i\rfloor )$) 的递推。

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三、两个经典目标函数

1. 欧拉函数 ($\phi$)

恒等式
$$\phi \ast 1=\mathrm{id},\mathrm{id}(n)=n,1(n)\equiv 1.$$
求和得
$$\sum _{k=1}^{n}k=\sum _{i=1}^n\phi (i),\lfloor \frac{n}{i}\rfloor .$$
左边
$$H(n)=\frac{n(n+1)}{2},S_1(x)=x.$$

用整除分块，把 ($\lfloor n/i\rfloor$) 相同的 ($i\in [l,r]$) 归为一块，块长为 ($(r-l+1)$)，块内和为 ($S_{\phi }(r)-S_{\phi }(l-1)$)。整理可得常用递推式
$$\boxed{S_{\phi }(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum _{l=2}^n{S}_{\phi }!(\lfloor \frac{n}{l}\rfloor ),(r-l+1),}$$
其中
$$r=\lfloor \frac{n}{\lfloor n/l\rfloor }\rfloor .$$

初值：($S_{\phi }(1)=1$)。

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2. 莫比乌斯函数 (\mu)

恒等式
$$\mu \ast 1=\epsilon ,\epsilon (1)=1,\epsilon (n>1)=0.$$
求和得
$$1=\sum _{i=1}^n\mu (i),\lfloor \frac{n}{i}\rfloor .$$
同样整除分块，得到
$$\boxed{,S_{\mu }(n)=1-\sum _{l=2}^n{S}_{\mu }!(\lfloor \frac{n}{l}\rfloor ),(r-l+1),}$$
其中 ($r=\lfloor \frac{n}{\lfloor n/l\rfloor }\rfloor$)。

初值：($S_{\mu }(1)=1$)。

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实现注意事项（易错点）

• ($S_{\mu }(n))$ 的初值是 (1)，不是 ($\frac{n(n+1)}{2}$)。
• 计算 ($\frac{n(n+1)}{2}$) 要用更大中间类型避免溢出.

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七、两条公式一键记忆

• 欧拉函数前缀和：
  $$S_{\phi }(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum _{l=2}^n{S}_{\phi }!(\lfloor \frac{n}{l}\rfloor ),(r-l+1),r=\lfloor \frac{n}{\lfloor n/l\rfloor }\rfloor .$$

• 莫比乌斯前缀和：
  $$S_{\mu }(n)=1-\sum _{l=2}^n{S}_{\mu }!(\lfloor \frac{n}{l}\rfloor ),(r-l+1),r=\lfloor \frac{n}{\lfloor n/l\rfloor }\rfloor .$$

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时间复杂度:$O(n^{2/3})$

模板

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e6+10;
ll n;
ll mu[N];
ll phi[N],pm[N];
unordered_mapmp_phi,mp_mu;
bool vis[N];
int cnt=0;
void init()
{
    mu[1]=phi[1]=1;
    for(ll i=2;i<=N-10;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            pm[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
            mu[i]=-1;
        }
        for(ll j=1;pm[j]*i<=N-10;j++)
        {
            ll p = pm[j];
            ll m = i*p;
            vis[m]=true;
            if(i%p==0)
            {
                phi[i*p]=phi[i]*p;
                break;
            }
            mu[m]=-mu[i];
            phi[i*p] = phi[i]*(p-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=N-10;i++)
    {
        mu[i]+=mu[i-1];
        phi[i]+=phi[i-1];
    }
}
ll sphi(ll n)
{
    if(n<=N-10)return phi[n];
    if(mp_phi[n])return mp_phi[n];
    ll ans = n*(n+1)/2;
    ll r;
    for(ll l=2;l<=n;l=r+1)
    {
        r = n/(n/l);
        ans -= sphi(n/l)*(r-l+1);
    }
    return mp_phi[n]=ans;
}
ll smu(ll n)
{
    if(n<=N-10)return mu[n];
    if(mp_mu[n])return mp_mu[n];
    ll ans = 1;
    ll r;
    for(ll l=2;l<=n;l=r+1)
    {
        r = n/(n/l);
        ans -= smu(n/l)*(r-l+1);
    }
    return mp_mu[n]=ans;
}
void solve()
{
    cin>>n;
    ll ans1 = sphi(n);
    ll ans2 = smu(n);
    cout<>t;
    init();
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}