完整教程：神经网络之反射变换

反射变换？就是一、什么

反射变换（reflection transformation） 是一种 线性变换，它将空间中的点（或向量）相对于某个**平面（或直线）**进行镜像对称。

例如：

• 在二维空间中，它表示相对于一条直线的镜像反射；
• 在三维空间中，它表示相对于一个平面的镜像反射。

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二、反射变换的定义公式

设：

• $(n)$是单位法向量（表示反射平面的法线方向）；
• $(x\in {\mathbb{R}}^n)$是任意向量。

则反射变换 $(T)$ 定义为：

$$T(x)=x-2(n\cdot x)n$$

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三、几何解释

我们把 $(x)$ 分解为：
$$x=x_{\parallel }+x_{\perp }$$
其中：

• $(x_{\parallel }=(n\cdot x)n)$：沿法线方向的分量；
• $(x_{\perp }=x-(n\cdot x)n)$：在平面内的分量。

那么反射后：
$$T(x)=x_{\perp }-x_{\parallel }$$

即：

分量	意义	反射后的变化
$(x_{\perp })$	平面内分量	保持不变 ✅
$(x_{\parallel })$	垂直平面分量	方向反转

这说明：反射就是把法线方向“翻过去”，平面内部分不变。

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四、矩阵形式

反射变换也可以写成矩阵形式：

$$T(x)=(I-2n{n}^{\top })x$$

其中：

• $(I)$：单位矩阵；
• $(n{n}^{\top })$：把向量投影到法线方向上的投影矩阵。

于是，反射矩阵为：

$$R=I-2n{n}^{\top }$$

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五、反射矩阵的性质

性质	说明
线性	满足加法与数乘封闭性，因此是线性变换。
正交矩阵	$(R^{\top }R=I)$，说明反射保持向量长度。
行列式	$(\det (R)=-1)$，说明它翻转了方向（即“镜像”）。
特征值	法线方向特征值为 -1，平面内方向特征值为 1。

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六、二维与三维的例子

1️⃣ 二维平面上相对直线的反射

若反射直线单位方向为 ( n = (\cos\theta, \sin\theta) )，
则反射矩阵为：

$$R=\left[\begin{array}{ccc}\cos 2\theta & \sin 2\theta \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{array}\right]$$

这个矩阵把向量关于过原点、角度为 ( \theta ) 的直线进行镜像反射。

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2️⃣ 三维空间中相对平面的反射

例如关于 $(xy)$平面的反射：
法线 $(n=(0,0,1))$。

$$R=I-2n{n}^{\top }=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 00& 1& 00& 0& -1\end{array}\right]$$

结果就是：
$$(x,y,z)\mapsto (x,y,-z)$$
即对 $(xy)$ 平面镜像。

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七、总结

项目	内容
定义	$(T(x)=x-2(n\cdot x)n)$
矩阵形式	$(R=I-2n{n}^{\top })$
性质	线性、长度不变、行列式 = −1
几何意义	平面内分量不变，法线方向分量反向
应用	计算机图形学、几何建模、光线追踪、线性代数教学