算法代码专题７：多元线性最小二乘疑问应用实例：房价预测

上篇（文章6算法代码讲座6：最小二乘法理论原理、典型案例与MATLAB实现）讲了最小二乘法，以弹簧的实验信息为背景问题，进行了最小二乘法的实践，其中自变量数据仅有一个因素，求解比较简单，本文进一步，针对自变量有多个因素，同时符合线性假设的最小二乘问题，举例演示。

1.介绍一个数据集

‌波斯顿房价材料集（Boston Housing Dataset）‌是一个经典的机器学习回归材料集，包含506个样本和13个特征变量，用于预测波士顿地区房屋（中位数）价格（MEDV）。主要特征变量包括：

CRIM：城镇人均犯罪率。

RM：平均房间数（与房价强正相关）。

LSTAT：低收入人口比例（与房价强负相关）。

DIS：就业中心距离。

PTRATIO：师生比例

2.多元线性回归实例：房价预测

本文为了简洁易懂，启用上述材料集简化选择后的子数据集，作为原始数据，应用最小二乘法，拟合各变量与房价的关系。

简化选择后的房价信息集如下，共涵盖四列10组数据，其中前三个为因素变量（包括面积(m²), 房间数, 房龄(年),），最后一个为响应变量（房价(万元)）：

序号	面积(m²), 房间数, 房龄(年), 房价(万元)
1	80, 2, 5, 320;
2	95, 3, 2, 420;
3	110, 3, 10, 380;
4	65, 1, 20, 280;
5	150, 4, 5, 550;
6	120, 3, 15, 410;
7	100, 2, 8, 360;
8	85, 2, 3, 340;
9	130, 3, 1, 480;
10	70, 1, 25, 260

3.Matlab编程代码如下

data = [ 80, 2, 5, 320;

95, 3, 2, 420;

110, 3, 10, 380;

65, 1, 20, 280;

150, 4, 5, 550;

120, 3, 15, 410;

100, 2, 8, 360;

85, 2, 3, 340;

130, 3, 1, 480;

70, 1, 25, 260];

% 提取变量

X = data(:, 1:3); %影响因素

Y = data(:, 4); %房价

% 构建设计矩阵（与一元变量做法一致，参考上篇文章）

X_design = [ones(size(X,1), 1), X];

% 求解多元回归系数（正规方程法，参考上篇文章）

beta = (X_design' * X_design) \ (X_design' * Y)

运行结果：

beta =

127.9558

2.1454

21.9905

-1.7393

% 预测房价

Y_pred = X_design * beta;

% 误差分析

residuals = Y - Y_pred;

SSE = sum(residuals.^2);

SST = sum((Y - mean(Y)).^2);

R_squared = 1 - SSE/SST %决定系数

运行结果：

R_squared =

0.9497

% 可视化预测结果

figure;

scatter(Y, Y_pred, 80, 'filled', 'MarkerFaceColor', [0.4 0.7 0.4]);

hold on;

plot([min(Y), max(Y)], [min(Y), max(Y)], 'r--', 'LineWidth', 1.5);

xlabel('实际房价 (万元)');

ylabel('预测房价 (万元)');

title('多元线性回归预测结果');

legend('数据点', '理想拟合线', 'Location', 'northwest');

grid on;

运行结果：

4. 房价预测结果分析与解释

回归方程: 房价 = 127.9558 + 2.1454*面积 + 21.9905*房间数 - 1.7393*房龄，所有系数符号符合实际预期，面积越大，房价越高，房龄越大，房价越低，值得注意的是，房间数影响最显著。

决定系数 R² = 0.9497，模型解释力强（R²>0.94）

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