（坚持每天写算法）算法学习与复习part1基础算法part1-10——前缀和

　　题目详情：

 　　这一道题要使用前缀和，我们对前缀和的定义从从开头到某一个结尾的区间和。　

　　假设有这么一种情况：

　　原数组: a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], …, a[n]
　　前缀和 Si为数组的前 i项和
　　前缀和: S[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i]

　　（需要注意的是，前缀和下标统一的从1开始，每次写数组都问一下自己这道题的原始模板下标是从哪里开始的，话说这就是背板吧，这样子做是为了下标混乱）

　　前缀和分为一维和二维的，可以求解某一段区间的和，一维度的求解某个区间的和可以这么算：S[r] - S[l - 1]

　　直接贴上一维的利用前缀和求解某一段区间的和代码：

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n,m;
int a[N] , s[N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    //按惯例，前缀一定要是一个1
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
        cin>>a[i];
    }
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        s[i] = s[i-1] + a[i];
    }
    
    while(m--){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        printf("%d\n",s[r] -s[l-1]);
    }
    
    return 0;
}

　　然后我们开始探究二维的代码：

　　这里是图解：

 

 　　由于那么求出前缀和就可以求解二维的某段区间的值了，这里是图解：

　　

 　　这里是二维的代码：

　

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n , m , q;//
int s[N][N];//应该不会爆，int的范围是10位数，加法应该不会
int main(){
    scanf("%d%d%d" ,&n,&m,&q);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        for(int j = 1 ; j <= m ; j ++){
            cin>>s[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1 ; i <=n ; i ++){
        for(int j = 1 ; j <= m ; j ++){
            s[i][j] += s[i][j-1] + s[i-1][j] -s[i-1][j-1];
        }
    }
    
    while(q--){
        int x1,x2,y1,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        printf("%d\n" , s[x2][y2] - s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}
// 要点：一维前缀和，尝试二维前缀和，也就是前缀和矩阵
// 知道如何算出二维前缀和矩阵，并且在代码中展示出来，这里采用了快捷方法
// 知道如何通过前缀和矩阵算出子矩阵和

　　时间复杂度：看代码，粗略地猜测，分别是O(n)和O(n^2)。

　　参考链接：AcWing 795. 前缀和理解_Java - AcWing