pfaffian证明lgv

lgv引理

不得不说论文写的真的好，大家可以上网搜一下 Pfaffian Pairs and Parities: Counting on Linear Matroid Intersection and Parity Problems

本来觉得shanlunjiajian的课件写了好多没用的东西，行了，现在觉得每一句都有用了。

我们现在想使用普法夫定向证明lgv引理

lgv引理是什么？

给定一个DAG图 \(G\)，有一组起点 \(S\) 和终点 \(T\)，满足 \(|S|=|T|\)，计算

\[\sum_P sgn(P)\times s_i到t_{p_i}的点不交路径条数 \]

令 \(k=|S|=|T|\)，其中，P是1到k的排列，我们对于排列定义 \(sgn(P)=(-1)^{P的逆序对个数}\)

构造双射

我们考虑讲点不交路径和二分图匹配构造一组双射。

首先原图中如果起点 \(s_i\) 有入边或者终点 \(t_i\) 有出边，我们将这些边删除一定对方案数没有影响。

我们现在有三组点，一组是起点，一组是终点，一组是非起点非终点。考虑建二分图，我们首先要把点划分成左部点和右部点，将起点定为左部点，终点定为右部点，并将所有非起点非终点的节点拆成左部点和右部点，并连接每对点。对于原图中的边 \((u,v)\)，我们连接 \(u\) 的左部点和 \(v\) 的右部点。

考虑DAG一组点不交路径组是如何和二分图匹配构成双射的，考虑将所有该DAG路径组上的边在二分图中定为匹配边，将所有不在路径组上的点的左部点匹配右部点。因为每个点只有在和不在DAG路径组上两种情况，因此这是一个完美匹配方案。相反构造同理（从一组二分图匹配到DAG点不交路径的映射），双射显然。

定向

考虑对二分图 \(\Gamma\) 进行定向构造 \(sgn(P)\) 系数。

首先说明，无向二分图的一组匹配在有向二分图中仍然是一组匹配，所有方向只是为了贡献系数而和匹配本身无关。

目前的二分图中共有两种边，一种是原图中的边，一种是自己的左右部点间的连边，我们考虑将前一种边定向成右部点到左部点，后一种边定向成左部点到右部点。

将二分图左右部点独立编号为1到n-k和1到n-k，对于二分图的一组完美匹配M，考虑每个点i匹配到 \(\sigma_i\) 我们定义完美匹配的 \(sgn(M)=sgn(\sigma)\)

我们现在要证明 \(sgn(P)=(-1)^k\times sgn(M) \prod_{e\in M} w(e)\) ，其中 \(w(e)\) 是每条边的定向权（左部点到右部点是1，右部点到左部点是-1，其实就是相当于给每条边一个1或者-1的边权）。

我们对于一组方案 \(P\) 和 \(M\) 临时将 \(G\) 加入 \(s_i\) 到 \(t_{p_i}\) 的边构成 \(G'\) 并同时在 \(\Gamma\) 中加入连接 \(s_i\) 和 \(t_{p_i}\) 的边（并定向成 \(t_{p_i}\) 到 \(s_i\)）构成 \(\Gamma'\)。此时我们取一组点不交路径，每个起点 \(s_i\) 直接走到 \(t_{p_i}\) ，此时显然 \(sgn(P)=(-1)^k\times sgn(M') \prod_{e\in M'} w(e)\)。我们考虑将 \(M'\) 调整成任意一组点不交路径方案 \(M\)，使用交错环调整，调整过程中，把环上所有边选和不选状态取反，并且改变环上每个点所指向的方向（顺时针下一个点还是逆时针下一个点）。

我们分别考虑绕环走一圈造成的匹配定向值改变量和改变所指方向造成的逆序对改变量。

考虑对于一个有向交错环，我们可以发现，临时边是和环上其他所有边反向的（这句话中的方向是只分顺着交错环和逆着交错环两种方向，此时只看 \(\Gamma'\) 的这个交错环，应该有两条路径，一条由 \(\Gamma\) 中就有的边构成的，顺着走可以从 \(t_{p_i}\) 到 \(s_i\)；另一条只有临时边这一条边，顺着走可以从 \(t_{p_i}\) 到 \(s_i\)，假如我们以逆着临时边方向为交错环方向，交错环先逆着临时边从 \(s_i\) 到 \(t_{p_i}\)，然后顺着 \(\Gamma\) 中就已经加入的边从 \(t_{p_i}\) 回到 \(s_i\)，所以临时边和其他边反向）此时在这个图中，顺交错环和逆交错环都有奇数条边（我们说他是oddly oriented）。

我们现在要证明对于 oddly oriented 的交错环，取反这一整个环不改变 \(sgn(M') \prod_{e\in M'} w(e)\)

我们考虑对于一个长度为 \(2t\) 的交错环，假设所有的边都是顺环方向，应该恰有 \(t\) 个1且恰有 \(t\) 个-1。我们走过一个交错环相当于把环上所有边选和不选的状态取反，相当于乘 \((-1)^{环上-1的个数}\)。对于所有边都是顺环情况，就是乘\((-1)^t\)，我们考虑将这个全顺环的交错环取反（改变边的方向）一条边，那么对于这条边来讲，首先他将顺环逆环边数量改变了1，同时将环上-1的个数改变了1。现在我们考虑 oddly oriented，他需要从顺环情况开始，取反奇数条边，相当于乘 \((-1)^{t-1}\)。

我们再考虑改变所指方向造成的逆序对改变量，置换环左侧点从指向上一个点变成指向下一个点，相当于有一个t个点的置换环，我们要把每个点归位，那么 \((-1)^{step}=(-1)^{t-1}\)，这与前面改变定向权相互抵消，因此走过一个交换环并不对 \(sgn(M') \prod_{e\in M'} w(e)\) 产生影响，而我们可以通过走 \(k\) 个交换环将 \(M'\) 调整成 \(M\) ，\(sgn(P)=(-1)^k\times sgn(M) \prod_{e\in M} w(e)\) 得证。

所以此时我们可以通过求带权邻接矩阵（\(N_{i,j}=边数\times定向\)）行列式，并在最后乘 \((-1)^k\) 即可解决lgv引理。

缩小矩阵

但是注意到lgv引理只和 \(k\) 大小有关而和原图点数 \(n\) 无关，我们此时还需要观察一些性质。

我们先规范一下定义 \(N_{i,j}\) 其中 \(i\) 是左部点，\(j\) 是右部点，他们编号范围均为1到 \(n-k\)。 左部点1到 \(k\) 为 \(s_1\) 到 \(s_k\)，\(k+1\) 到 \(n-k\) 为其余点顺次编号，右部点1到 \(k\) 为 \(t_1\) 到 \(t_k\)，\(k+1\) 到 \(n-k\) 为其余点顺次编号。

答案应为 \(det(N)\times(-1)^k\)

因为其余点可以任意编号，我们不妨令 \(k+1\) 到 \(n-k\) 的点拓扑序从小到大

那么通过对行列的1到 \(k\) 划分和 \(k+1\) 到 \(n-k\) 划分，\(N\)大致构成如下形状

\[\begin{pmatrix} X & Y\\ Z & W \end{pmatrix} \]

W部分应为对角线全为1的上三角矩阵，我们从下面的行向上消元，此时W消为对角矩阵，对角线全为1，Y全为0，X为 \(s_i\) 到 \(t_j\) 的方案数乘 -1。显然消元前后行列式不变，对这个矩阵求行列式相当于对 \(X\) 部分求行列式。我们考虑再将 \(X\) 每个位置乘-1 ，则 \(det(X')=(-1)^kdet(X)\)，而 \(X'_{i,j}\) 即为 \(s_i\) 到 \(t_j\) 的方案数。

因此答案 \((-1)^kdet(N)=(-1)^kdet(X)=det(X')\)。