欧拉函数

参考文章：

基础数论复习

定义

我们定义 $\varphi(x)$ 为小于 $x$ 的正整数中与 $x$ 互质的数的个数，称作欧拉函数。

性质

若 $x$ 为质数， $\varphi(x)=x-1$

证明：显然若 $x$ 是质数，在1 ~ $x$ 范围内，除 $x$ 本身外，其余数字均与 $x$ 互质。

若 $x=p^c$ （ $p$ 为质数），则 $\varphi(x)=(p-1) \times p^{k-1}$ 。

证明：所有 $p$ 的倍数都与 $x$ 不互质，其他所有数都与他互质。$p$ 的倍数刚好有 $p^{k-1}$ 个（包括 $x$ 本身）

那么 $\varphi(x)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}$ 。

若 $p,q$ 互质，则有 $\varphi(p\times q)=\varphi(p)\times \varphi(q)$ ，可知，欧拉函数本身是积性函数。
若 $p$ 为 $x$ 的约数（ $p$ 为质数， $x$ 为任意正整数），我们有 $\varphi(x\times p)=\varphi(x)\times p$
若 $p$ 不为 $x$ 的约数（ $p$ 为质数， $x$ 为任意正整数），我们有 $\varphi(x\times p)=\varphi(x)\times (p-1)$
对于一个正整数 $x$ 的质数幂分解 $x=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times\cdots\times p_n^{k_n}=\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}$ 。

\[\varphi(x)=x\times (1-\frac{1}{p_1} ) \times (1-\frac{1}{p_2} ) \times\cdots\times (1-\frac{1}{p_n} ) = x\times \prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i}) \]

$\forall n>1,\sum_{x}^{x与n互质}x=\frac{n\times\varphi(n)}{2}$

证明：因为 $\gcd(n,x)=\gcd(n,n-x)$ ，所以在 1~n中与n互质的数是成对出现的。

$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$

证明1：

我们采用数学归纳法，首先 $f(1)=1$

设 $f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)$

对于$f(x),x=p^c,p为质数，c\in N^+$

$f(x)=\sum_{d|p^{c-1}}\varphi(d)+\varphi(p^c)=f(p^{c-1})+\varphi(p^c)=p^{c-1}+p^{c-1}\times(p-1)=p^{c-1}\times p=p^c$

若 $x=n\times m$ 其中 $n\bot m$

$f(x)=f(n\times m)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=\sum_{d|n}\varphi(d)\times\sum_{d|m}\varphi(d)=f(n)\times f(m)=n\times m=x$

证明2：
$设1\leq a\leq n,d=\gcd(a,n)$
$则\gcd(\frac{a}{d} ,\frac{n}{d})=1$
$\therefore 对于每一个d|n，都有\varphi(\frac{n}{d})个a，满足\gcd(\frac{a}{d},\frac{n}{d})=1$
$\because 共有n个符合题意的a，每个a都对应唯一一个d^①$
$\therefore \sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})=n，即\sum_{d|n}\varphi(d)=n$

①：对于“每个$a$都对应唯一一个$d$”的证明如下：

$假设\exists a同时满足d_1和d_2的条件，即\gcd(\frac{a}{d_1} ,\frac{n}{d_1})=\gcd(\frac{a}{d_2} ,\frac{n}{d_2})=1$

$那么d_1=\gcd(a,n)且d_2=\gcd(a,n)，即d_1=d_2$

$\therefore 对每一个d，满足条件的\varphi(\frac{n}{d})个a互不相同$

想法来源：
要证$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$，由于$\varphi(d)$不方便拿一个代数式表示后加和，所以考虑从$n$入手，我们试着发现$[1,n]$中每一个数与$n$的关系
然后我们不难发现$$\forall i\in [1,n],\gcd(\frac{i}{\gcd(i,n)},\frac{n}{\gcd(i,n)})=1$$
其中，$\gcd(i,n)$一定是$n$的因数，且$\forall d|n,\exists i,使得\gcd(i,n)=d$
可以考虑枚举$\gcd(i,n)$，即$d$，对于每一个$d$，要使得$\gcd(\frac{a}{d} ,\frac{n}{d})=1$，$\frac{a}{d}$就有$\varphi(\frac{n}{d})$种取法，同样地，$a$也就有$\varphi(\frac{n}{d})$种取法
接着按上面的证明过程走就行了

by yjx&lyk

实际上，性质1~5均可由性质6推出

求欧拉函数

若求单个数的欧拉函数，直接利用性质4求解。时间复杂度$O(\sqrt x)$。

int phi(int n) {
	int ans=n;
	int t=sqrt(n);
	for(int i=2; i<=t; ++i) {
		if(n%i==0)
			ans=ans/i*(i-1);
		while(n%i==0) n/=i;
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

若求前$n$个数的欧拉函数，可使用埃氏筛（性质4）或线性筛（性质5、6）。

//线性筛
void init(){
	int n=1e7+50;//范围
	phi[1]=1; //特判1
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){pr[++cnt]=i,phi[i]=i-1;}//质数，性质1
		for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]<=n/i;j++){
			vis[i*pr[j]]=1;
			phi[i*pr[j]]=phi[i]*((i%pr[j])?pr[j]-1:pr[j]); 
			if(i%pr[j]==0)break;
		} 
	}
}

by lyk

posted @ 2024-06-29 11:12 班级账号阅读(64) 评论(0) 收藏举报

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