中点椭圆算法

椭圆与圆不同，不能八分只能四分。中点椭圆算法将分成两部分应用于第一象限。在斜率绝对值小于1的区域内在x方向取单位步长，在斜率绝对值大于1的区域内在y方向取单位步长。

取 $(x_{c},y_c)=(0,0)$ ，可定义椭圆函数为

$f_{ellipse}=r_{y}^2x^2+r_{x}^2y^2-r_{x}^2r_{y}^2$

$f_{elipse}(x,y)$ 即决策参数。

从 $(0,r_y)$ 开始，在 $x$ 方向取单位步长直到区域1和区域2的界限处，然后转还为 $y$ 方向的单位步长，再覆盖第一象限中剩余的曲线段。不过，每一步都要检测曲线斜率值。

斜率方程：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2r_{y}^2x}{2r_{x}^2y}$

在区域1和区域2的交界区， $dy/dx=-1$ ，且

$2r_{y}^2x=2r_{x}^2y$

因此，移除区域1的条件是

$2r_{y}^2x\geqslant 2r_{x}^2y$

和中点画圆算法一样，通过该中点对决策函数求值来确定沿椭圆轨迹的下一个位置：

　 $p1_{k}=f_{ellipse}(x_{k}+1,y_{k}-\frac{1}{2})=r_{y}^2(x_{k}+1)^2+r_{x}^2(y_k-\frac{1}{2})^2-r_{x}^2r_{y}^2$

在下一个取样位置 $(x_{k+1}+1=x_{k}+2)$ ，区域1的决策参数可求值为

　　 $p1_{k+1}=f_{ellipse}(x_{k+1}+1,y_{k+1}-\frac{1}{2})=r_{y}^2[(x_{k}+1)+1]^2+r_{x}^2(y_{k+1}-\frac{1}{2})^2-r_{x}^2r_{y}^2$

或

$p1_{k+1}=p1_{k}+2r_{y}^2(x_{k}+1)+r_{y}^2+r_{x}^2[(y_{k+1}-\frac{1}{2})^2-(y_{k}-\frac{1}{2})^2]$

其中， $y_{k+1}$ 根据 $p1_{k}$ 的符号取值为 $y_{k}$ 或 $y_{k-1}$ 。

如果 $p1_{k}<0$ ，递增增量为 $2r_{y}^2x_{k+1}+r_{y}^2$ ；如果 $p1_{k}\geqslant 0$ ，递增增量为 $2r_{y}^2x_{k+1}+r_{y}^2-2r_{x}^2y_{k+1}$ 。

在区域2中，在负方向以单位步长取样。

$p2_{k}=f_{ellipse}(x_{k}+\frac{1}{2},y_{k}-1)=r_{y}^2(x_{k}+\frac{1}{2})^2+r_{x}^2(y_{k}-1)^2-r_{x}^2r_{y}^2$

在下一个位置 $y_{k+1}-1=y_{k}-2$ 对椭圆函数求值：

$p2_{k+1}=f_{ellipse}(x_{k+1}+\frac{1}{2},y_{k+1}-1)=r_{y}^2(x_{k+1}+\frac{1}{2})^2+r_{x}^2[(y_{k}-1)-1]^2-r_{x}^2r_{y}^2$

或

$p2_{k+1}=p2_{k}-2r_{x}^2(y_{k}-1)+r_{x}^2+r_{y}^2[(x_{k+1}+\frac{1}{2})^2-(x_{k}+\frac{1}{2})^2]$

其中， $x_{k+1}$ 的设置根据 $p2_{k}$ 的符号可取值为 $x_{k}$ 或 $x_{k+1}$ 。

算法过程：

1.输入 $r_{x}$ 、 $r_{y}$ 和椭圆中心 $(x_{c},y_{c})$ ，并得到椭圆上的第一个点：

$(x_{0},y_{0})=(0,r_{y})$

2.计算区域1中决策参数的初始值：

$p1_{0}=r_{y}^2-r_{x}^2r_{y}+\frac{1}{4}r_{x}^2$

3.在区域1中的每个 $x_{k}$ 位置，从 $k=0$ 开始，假如 $p1_{k}<0$ ，沿中心在 $(0,0)$ 的椭圆的下一个点为 $(x_{k+1},y_{k})$ ，并且

$p1_{k+1}=p1_{k}+2r_{y}^2x_{k+1}+r_{y}^2$

否则，沿椭圆的下一个点为 $(x_{k}+1,y_{k}-1)$ ，并且

$p1_{k+1}=p1_{k}+2r_{y}^2x_{k+1}-2r_{x}^2y_{k+1}+r_{y}^2$

其中

$2r_{y}^2x_{k+1}=2r_{y}^2x_{k}+2r_{y}^2,2r_{x}^2y_{k+1}=2r_{x}^2y_{k}-2r_{x}^2$

并且直到 $2r_{y}^2x\geqslant 2r_{x}^2y$ 。

4.使用区域1中计算的最后点 $(x_0,y_0)$ 来计算区域2中参数的初始值：

$p2_{0}=r_{y}^2(x_{0}+\frac{1}{2})^2+r_{x}^2(y_{0}-1)^2-r_{x}^2r_{y}^2$

5.在区域2的每个 $y_{k}$ 位置处，从 $k=0$ 开始，假如 $p2_{k}>0$ ，沿中心为 $(0,0)$ 的椭圆的下一个点为 $(x_{k},y_{k}-1)$ ，并且

$p2_{k+1}=p2_{k}-2r_{x}^2y_{k+1}+r_{x}^2$

否则，沿椭圆的下一个点 $(x_{k}+1,y_{k}-1)$ ，并且

$p2_{k+1}=p2_{k}+2r_{y}^2x_{k+1}-2r_{x}^2y_{k+1}+r_{x}^2$

使用与区域1中相同的 $x$ 和 $y$ 增量进行计算，直到 $y=0$ 。

6.确定其他三个象限中的对称点。

7.将计算出的每个像素位置 $(x,y)$ 移动到中心在 $(x_{c},y_{c})$ 的椭圆轨迹上，并按坐标值绘制点：

$x=x+x_{c},y=y+y_{c}$

 1 inline int Round(const float a) { return static_cast<int>(a + 0.5); }
 2 
 3 void setPixel(GLint xCoord, GLint yCoord)
 4 {
 5     glBegin(GL_POINTS);
 6     glVertex2i(xCoord, yCoord);
 7     glEnd();
 8 }
 9 
10 void ellipsePlotPoints(int xCenter, int yCenter, int x, int y)
11 {
12     setPixel(xCenter + x, yCenter + y);
13     setPixel(xCenter - x, yCenter + y);
14     setPixel(xCenter + x, yCenter - y);
15     setPixel(xCenter - x, yCenter - y);
16 }
17 
18 void ellipseMidpoint(int xCenter, int yCenter, int Rx, int Ry)
19 {
20     int Rx2 = Rx * Rx;
21     int Ry2 = Ry * Ry;
22     int twoRx2 = 2 * Rx2;
23     int twoRy2 = 2 * Ry2;
24     int p;
25     int x = 0;
26     int y = Ry;
27     int px = 0;
28     int py = twoRx2 * y;
29     // Plot the initial point in each quadrant
30     ellipsePlotPoints(xCenter, yCenter, x, y);
31     /* Region 1 */
32     p = Round(Ry2 - (Rx2 * Ry) + (0.25 * Rx2));
33     while (px < py) {
34         x++;
35         px += twoRy2;
36         if (p < 0) {
37             p += Ry2 + px;
38         }
39         else {
40             y--;
41             py -= twoRx2;
42             p += Ry2 + px - py;
43         }
44         ellipsePlotPoints(xCenter, yCenter, x, y);
45     }
46     /* Region 2 */
47     p = Round(Ry2 * (x + 0.5) * (x + 0.5) + Rx2 * (y - 1) * (y - 1) - Rx2 * Ry2);
48     while (y > 0) {
49         y--;
50         py -= twoRx2;
51         if (p > 0) {
52             p += Rx2 - py;
53         }
54         else {
55             x++;
56             px += twoRx2;
57             p += Rx2 - py + px;
58         }
59         ellipsePlotPoints(xCenter, yCenter, x, y);
60     }
61 }

posted @ 2016-05-29 18:38 clairvoyant 阅读(4059) 评论(0) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

刷新页面返回顶部

clairvoyant

中点椭圆算法

公告