Mahout系列之----距离度量

x = (x₁,...,x_n) 和y = (y₁,...,y_n) 之间的距离为

（1）欧氏距离 EuclideanDistanceMeasure

$d(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$

（2）曼哈顿距离 ManhattanDistanceMeasure

$\left|x_1 - x_2\right| + \left|y_1 - y_2\right|.$

（3）马氏距离MahalanobisDistanceMeasure

马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的（scale-invariant），即独立于测量尺度。对于一个均值为 $\mu = ( \mu_1, \mu_2, \mu_3, \dots , \mu_p )^T$ ，协方差矩阵为 $\Sigma$ 的多变量向量 $x = ( x_1, x_2, x_3, \dots, x_p )^T$ ，其马氏距离为

$D_M(x) = \sqrt{(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu)}$

马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为 $\Sigma$ 的随机变量 $\vec{x}$ 与 $\vec{y}$ 的差异程度：

$d(\vec{x},\vec{y})=\sqrt{(\vec{x}-\vec{y})^T\Sigma^{-1} (\vec{x}-\vec{y})}$

如果协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧氏距离；如果协方差矩阵为对角阵，其也可称为正规化的欧氏距离。

$d(\vec{x},\vec{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^p {(x_i - y_i)^2 \over \sigma_i^2}}$

其中 $\sigma_i$ 是 $x_i$ 的标准差。

（4）余弦距离 CosineDistanceMeasure

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta$

$\text{similarity} = \cos(\theta) = {A \cdot B \over \|A\| \|B\|} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^{n}{A_i \times B_i} }{ \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(A_i)^2}} \times \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{(B_i)^2}} }$