【BZOJ2671】Calc（莫比乌斯反演）

【BZOJ2671】Calc

题面

BZOJ
给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数：
1.\(1\le a\lt b\le N\)
2.\(a+b\)整除\(a*b\)
我竟然粘了题面！！！

题解

还是今天菊开讲的。
设出\(d=gcd(a,b)\)
那么，设\(a=xd,b=yd,gcd(x,y)=1\)
\((x+y)d|xyd^2,x+y|xyd\)
根据辗转相减的原理
可以得到\(gcd(x+y,x)=gcd(x+y,y)=gcd(x,y)=1\)，所以\(x+y|d\)。
设\(d=k(x+y)\)，因为\(a<b\)，所以\(x<y\)，因为\(d=k(x+y)\le n\)
而\(b=yd=yk(x+y)\le n\)
所以确定了\(x,y\)之后，有\(\frac{n}{y(x+y)}\)个\(d\)
根据上面的式子，还可以知道\(y\lt\sqrt n\)
所以，我们要求的就是

\[\sum_{x=1}^{\sqrt n}\sum_{y=x+1}^{\sqrt n}[gcd(x,y)=1]\frac{n}{y(x+y)} \]

这样直接算的复杂度是\(O(nlogn)\)
发现\(gcd\)的形式非常可以莫比乌斯反演
先把\(x,y\)反过来

\[\sum_{y=1}^{\sqrt n}\sum_{x=1}^{y-1}[gcd(x,y)=1]\frac{n}{y(x+y)} \]

直接莫比乌斯反演化简

\[\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{y=1}^{\sqrt n}\sum_{x=1}^{y-1}\frac{n}{yd^2(x+y)} \]

复杂度？假的，直接艹吧。。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 111111
int n,m;ll ans;
bool zs[MAX];
int pri[MAX],mu[MAX],tot;
ll Calc(int n,int m)
{
	ll ret=0;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int t=n/i;
		for(int j=i+1,k;j<(i<<1)&&j<=t;j=k+1)
			k=min((i<<1)-1,t/(t/j)),ret+=1ll*(k-j+1)*(t/j);
	}
	return ret;
}
int main()
{
	cin>>n;m=sqrt(n);mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=m;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;i*pri[j]<=m;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];else break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;++i)if(mu[i]!=0)ans+=mu[i]*Calc(n/i/i,m/i);
	cout<<ans<<endl;return 0;
}