带花树算法学习笔记

带花树算法学习笔记

难得yyb写了一个这么正式的标题

Q:为啥要学带花树这种东西啊?
A:因为我太菜了,要多学点东西才能不被吊打
Q:为啥要学带花树这种东西啊?
A:因为我做自己的专题做不动了,只能先去“预习”ppl的专题了
Q:为啥要学带花树这种东西啊?
A:因为可以用来做题啊,比如某WC题目

先推荐一个很皮很皮的带花树讲解:
戳这里嗷

QaQ
言归正传
带花树的算法用来解决一般图的最大匹配问题
说起来,是不是想起来网络流里面的最小路径覆盖?
或者二分图的最大匹配的问题?
的确,带花树解决一般图的最大匹配问题类似于这些东西。
但是肯定是有不同的。

比方说:
我们用匈牙利的思路来解决一般图
我们是可以很容易就让算法挂掉的
只需要一个奇环就可以啦
(让我偷张图片过来)

看见没有
有了一个奇环,在匹配的时候黑白就会翻转过来。
所以我们当然不能直接用匈牙利来做。

但是,这样的问题当然需要解决,
所以就有了带花树算法。
你可以理解为:
带花树算法=匈牙利算法+处理奇环

因为不打算长篇大论,
我按照带花树的步骤来写写这个算法。
(随时对比匈牙利算法)

匈牙利算法第一步:找到一个未被匹配的点,从这个点开始匹配
带花树算法第一步:找到一个未被匹配的点,从这个点开始匹配

貌似没有区别。。。
接下来匈牙利算法会用\(dfs\)来寻找增广路
带花树算法使用\(bfs\)
将当前点丢进队列里面
我们将他染个色,比如说黑色
然后开始\(bfs\)
首先取出队首的黑点\(u\)
找找和它相邻的点\(v,(u,v)\in E\)
如果\(v\)是白点并且在当前的这一次匹配中已经被访问过,则不管这个点
否则,如果当前点\(v\)没有被访问过,并且\(v\)没有匹配点
那么就是找到了一条增广路
记录每一个点的前驱\(pre\),每个点的匹配点\(match\)
从当前的点\(v\)开始,每个点都和他的前驱两两匹配
沿着增广路全部修改回去就行了,
然后这一次的匹配结束。(这个跟匈牙利是一样的啊)
如果这个点已经有匹配点的话,则去尝试能否修改它的匹配点
因此,这个时候把\(v\)的前驱置为\(u\),然后把\(v\)的匹配点丢进队列里面。(这也是和匈牙利一样的啊)
继续\(bfs\),尝试能否修改它的匹配点。

对于上面的情况,明显和匈牙利算法是一模一样的,
但是出现了匈牙利不能解决的情况,也就是奇环。

如果当前黑点\(u\)的相邻点扩展出来了一个黑点\(v\)
意味着\(u-v-u\)构成了一个奇环
那么我们就要缩环啦,这就是带花树算法的重点。

对于一个奇环,它的点的个数一定是\(2k+1\)的形式
意味着,在奇环内最多只有\(k\)组匹配,
同时,一定有一个点会向外匹配(匹配点不在环内)
现在,如果我们把整个奇环都看成一个点
如果某个增广路找到了奇环上去,我们一定能够重置奇环内的匹配
无非是把增广路找到的奇环上的那个点和增广路上的其他点匹配。
然后奇环剩下的\(2k\)个点两两匹配。

所以,我们可以直接把奇环看成一个点来缩,这个就是开花啦
如果增广路找到了奇环上,我们就把奇环展开重新更新一下匹配就好。

可是,问题是,怎么缩奇环???
我们额外维护一个并查集,将同朵花中的节点在并查集中合并
我们先求出他们的最近花祖先
这个要怎么理解?
我们的匹配(\(match\))和前驱(\(pre\))都是边
如果把已经缩好的奇环都看成一个点
那么,这些边和点,就是一棵树。
假设现在出现了\(u-v\)这条边
意味着在树上出现了一个基环(当然也是奇环)
那么,从当前的\(u,v\)所在的奇环开始(如果只有一个点就是它自己啦)
不断的向上走交替地沿着\(match\)\(pre\)边向上
当然了,每次走当然要走到他所在的奇环(并查集的根节点)所代表的那个位置啦(这是朴素的、暴力的\(lca\)求法)

所以求\(lca\)的代码如下:

int lca(int u,int v)
{
    ++tim;u=getf(u);v=getf(v);
    while(dfn[u]!=tim)
    {
        dfn[u]=tim;
        u=getf(pre[match[u]]);
        if(v)swap(u,v);
    }
    return u;
}

\(dfn\)就是一个标记而已,你在向上跳的时候一边跳一边打标记
如果你在跳完另外一个点后发现这个位置已经被打了标记,
那么就意味着这个点就是\(lca\)

好的,我们求出来了\(LCA\),考虑怎么缩环(开花)
先上代码我再来解释

void Blossom(int x,int y,int w)
{
    while(getf(x)!=w)
    {
        pre[x]=y,y=match[x];
        if(vis[y]==2)vis[y]=1,Q.push(y);
        if(getf(x)==x)f[x]=w;
        if(getf(y)==y)f[y]=w;
        x=pre[y];
    }
}

\(x,y\)是要开花的奇环的两个点(也就是上面的\(u,v\)
\(w\)是他们的\(LCA\)
此时\(x,y\)之间可以匹配,但是他们都是黑点。

因为整朵花缩完都是一个黑点
因此,我们把\(x->lca\),\(v->lca\)的路径全部处理即可
因为两部分相同,因此只需要写一个\(Blossom\)函数
看看这个开花是怎么执行的
首先把\(x,y\)\(pre\)连接起来(默认一朵花中未匹配的点就是\(lca\),也就是花根)
然后沿着\(x\)(或者\(y\))向上一个个点往上跳
如果跳到某个点是白点,但是花中的所有点都是黑点
所以把白点暴力染黑,然后丢进队列中增广

在跳的过程中,很可能中间跳的是若干个已经缩完的花(缩过的花也是点,但是在维护\(pre\)的时候,还是需要沿着这朵花暴跳,因为还需要维护每个点的匹配信息,只考虑一朵花的话没法维护所有点的信息)
所以在跳跃的过程中,暴力把所有访问到的节点和花的并查集全部合并到\(lca\)上面,表示他们的花根是\(lca\)

感觉我写的很不清晰

总而言之,我们来总结一下带花树算法的流程

1.每次找一个未匹配的点出来增广
2.在增广过程中,如果相邻点是白点,或者是同一朵花中的节点,则直接跳过这个点
3.如果相邻点是一个未被匹配过的白点,证明找到了增广路,沿着原有的\(pre\)\(match\)路径,对这一次的匹配结果进行更新
4.如果相邻点是一个被匹配过的白点,那么把这个点的匹配点丢进队列中,尝试能否让这个点的匹配点找到另外一个点进行匹配,从而可以增广。
(以上步骤同匈牙利算法)
5.如果相邻点是一个被匹配过的黑点,证明此时出现了奇环,我们需要将这个环缩成一个黑点。具体的实现过程是:找到他们的最近花公共祖先,也就是他们的花根,同时,沿着当前这两个点一路到花根,将花上的所有节点全部染成黑点(因为一朵花都是黑点),将原来的白点丢进栈中。同时,修改花上所有点的\(pre\),此时,只剩下花根并不与花内的节点相匹配。

以下是\(UOJ79\)模板题的代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 555
#define MAXL 255555
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next;}e[MAXL];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
int match[MAX],pre[MAX],f[MAX],vis[MAX],tim,dfn[MAX];
int n,m,ans;
int getf(int x){return x==f[x]?x:f[x]=getf(f[x]);}
int lca(int u,int v)
{
    ++tim;u=getf(u);v=getf(v);
    while(dfn[u]!=tim)
    {
        dfn[u]=tim;
        u=getf(pre[match[u]]);
        if(v)swap(u,v);
    }
    return u;
}
queue<int> Q;
void Blossom(int x,int y,int w)
{
    while(getf(x)!=w)
    {
        pre[x]=y,y=match[x];
        if(vis[y]==2)vis[y]=1,Q.push(y);
        if(getf(x)==x)f[x]=w;
        if(getf(y)==y)f[y]=w;
        x=pre[y];
    }
}
bool Aug(int S)
{
    for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=i,vis[i]=pre[i]=0;
    while(!Q.empty())Q.pop();Q.push(S);vis[S]=1;
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].v;
            if(getf(u)==getf(v)||vis[v]==2)continue;
            if(!vis[v])
            {
                vis[v]=2;pre[v]=u;
                if(!match[v])
                {
                    for(int x=v,lst;x;x=lst)
                        lst=match[pre[x]],match[x]=pre[x],match[pre[x]]=x;
                    return true;
                }
                vis[match[v]]=1,Q.push(match[v]);
            }
            else
            {
                int w=lca(u,v);
                Blossom(u,v,w);
                Blossom(v,u,w);
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=read(),v=read();
        Add(u,v);Add(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)if(!match[i])ans+=Aug(i);
    printf("%d\n",ans);
    for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",match[i]);puts("");
    return 0;
}
posted @ 2018-04-04 21:31 小蒟蒻yyb 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏