【洛谷1962】 斐波那契数列

题面

题目背景

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入格式：

·第 1 行：一个整数 n

输出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

输入输出样例

输入样例#1：

5

输出样例#1：

5

输入样例#2：

10

输出样例#2：

55

说明

对于 60% 的数据： n ≤ 92

对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。

题解

看一看数据范围
如果使用O(n)的递推显然会炸掉
那么我们有没有别的方法？

显然是有的
使用斐波那契数列的递推公式怎么样?
但是，，，里面带有根号，如果直接使用显然是会掉精度的

所以，，，应该怎么办

我们知道
f[i]=f[i-1]+f[i-2]
f[i-1]=f[i-2]+f[i-3]

所以
我们可以用矩阵来表示

因此
我们可以继续推导
可以得到

接下来使用矩阵快速幂就可以直接求解

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 10
#define ll long long
struct yl//矩阵 
{
	   int n;//大小
	   long long g[MAX][MAX];  
};
yl operator *(yl a,yl b)//定义乘法 
{
	   int n=a.n;
	   yl cool;
	   memset(cool.g,0,sizeof(cool.g));
	   for(int i=1;i<=n;++i)
	   	    for(int j=1;j<=n;++j)
				 for(int k=1;k<=n;++k)
				        cool.g[i][j]=(cool.g[i][j]+1ll*a.g[i][k]*b.g[k][j]%MOD)%MOD;
	   cool.n=n;
	   return cool;
}
void write(yl a)
{
	   int n=a.n;
	   for(int i=1;i<=n;++i)
	   {
	       for(int j=1;j<=n;++j)
		      cout<<a.g[i][j]<<' ';
		   cout<<endl;
	   }
}
yl Pow(yl a,long long b)//a的b次方
{
	   if(b==1)return a;
	   yl s=Pow(a,b/2);
	   s.n=a.n;
	   s=s*s;
	   if(b&1)s=s*a;
	   return s;
}
int main()
{
	   ll n;
       cin>>n;
       if(n==0)
       {
       	      cout<<0<<endl;
       	      return 0;
       }
	   if(n==1||n==2)
	   {
	   	      cout<<1<<endl;
	   	      return 0;
       } 
       else
       {
       	      yl a;
       	      a.n=2;
       	      a.g[1][1]=a.g[1][2]=a.g[2][1]=1;
       	      a.g[2][2]=0;
       	      yl s=Pow(a,n-1);
       	      s.n=2;
       	      //write(s);
       	      cout<<s.g[1][1]<<endl;
       	      return 0;
       }
}