随笔分类 - 数学方法 -- 数论
摘要：【BZOJ1041】圆上的整点（数论） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 好神仙的题目啊。 "安利一个视频，大概是第$7$到$19$分钟的样子" 因为要质因数分解，所以复习了一下$Pollard\_rho$ cpp include include include include include i
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摘要：【NOI2018】屠龙勇士（数论，exgcd） 题面 "洛谷" 题解 考场上半个小时就会做了，一个小时就写完了。。 然后发现没过样例，结果大力调发现中间值爆$longlong$了，然后就没管了。。 然后又没切掉。。。~~我是真的傻逼。。。~~ 首先每次选择的刀一定，直接一个$multiset$就算出
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摘要：【BZOJ3243】【NOI2013】向量内积（矩阵，数论） 题面 "BZOJ" 题解 这题好神仙。 首先$60$分直接是送的。加点随机之类的可以多得点分。 考虑正解。 我们先考虑一下暴力。 我们把$n$个向量拼接在一起，形成一个$n\times d$的矩阵。 显然这个矩阵和它的转置矩阵，也就是一个
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摘要：【BZOJ2876】【NOI2012】骑行川藏（数学，二分答案） 题面 "BZOJ" 题解 我们有一个很有趣的思路。 首先我们给每条边随意的赋一个初值。 当然了，这个初值不会比这条边的风速小。 那么，我们可以先计算一下当前所需要的总能量。 剩下的能量我们分成若干等份。 每次从所有的边中，选择一个加了
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摘要：【BZOJ2432】【NOI2011】兔农（数论，矩阵快速幂） 题面 "BZOJ" 题解 这题$75$分就是送的，我什么都不想写。 先手玩一下，发现每次每次出现$mod\ K=1$的数之后 把它减一，就变成了$0$。接着后面的数显然还是一个斐波那契数列 只是都乘了$0$之前的那个数作为倍数而已。 拿
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摘要：【BZOJ3240】【NOI2013】矩阵游戏（数论） 题面 "BZOJ" 题解 搞什么矩阵十进制快速幂加卡常？ 直接数学推导不好吗？ 首先观察如何从每一行的第一个推到最后一个 $f[i]=a·f[i 1]+b$ 利用数列的一系列知识 我们设$f[i]+x=a(f[i 1]+x)$ 解出$x=\fr
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摘要：【BZOJ3122】随机数生成器（BSGS，数论） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 考虑一下递推式 发现一定可以写成一个 $X_{i+1}=(X_1+c) a^i c$的形式 直接暴力解一下 $X_{i+1}+c=a(X_i+c)$ 解得$c=\frac{b}{a 1}$ 这样子，相当于得到了一
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摘要：【BZOJ2242】计算器（BSGS，快速幂） 题面 "BZOJ" "洛谷" 1、给定y、z、p，计算y^z mod p 的值； 2、给定y、z、p，计算满足xy ≡z(mod p)的最小非负整数x； 3、给定y、z、p，计算满足y^x ≡z(mod p)的最小非负整数x。 题解 第一问是裸的快速幂
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摘要：【BZOJ4555】求和（多种解法混合版本） 题面 "BZOJ" 给定$n$,求 $$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)\times 2^j \times (j!)$$ $n include include include include include
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摘要：【BZOJ1416/1498】【NOI2006】神奇的口袋（数论，概率） 题面 "BZOJ1416" "BZOJ1498" "洛谷" 题面都是图片形式是什么鬼。。 题解 考虑以下性质 1.$x[1],x[2]..x[n]$等价于$1,2,...n$ 证明： 假设取第$k$步以前，所有的球的个数分别是
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摘要：【BZOJ4869】相逢是问候（线段树，欧拉定理） 题面 "BZOJ" 题解 根据欧拉定理递归计算（类似 "上帝与集合的正确用法" ) 所以我们可以用线段树维护区间最少的被更新的多少次 如果超过了$\varphi$的限制 就不用再计算了 如果需要计算就每次暴力算 这样的复杂度$O(nlog^2)$
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摘要：【BZOJ2186】沙拉公主的困惑（数论） 题面 "BZOJ" 题解 考虑答案是啥 先假设$n=m$ 现在求的就是$\varphi(m!)$ 但是现在$n!$是$m!$的若干倍 我们知道 $gcd(x,y)=gcd(x+ky,y)$ 所以，相当于 每隔$m!$，答案增长的值都是$\varphi(m!
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摘要：【BZOJ3884】上帝与集合的正确用法（欧拉定理，数论） 题面 "BZOJ" 题解 我们有欧拉定理： 当$b \perp p$时 $$a^b≡a^{b\%\varphi(p)}\pmod p $$ 否则 当$b≥\varphi(p)$时 $$a^b≡a^{b\%\varphi(p)+\varphi
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摘要：【BZOJ3930】选数（莫比乌斯反演，杜教筛） 题面 给定$n,K,L,R$ 问从$L～R$中选出$n$个数，使得他们$gcd=K$的方案数 题解 这样想，既然$gcd=K$，首先就把区间缩小一下 这样变成了$gcd=1$ 设$f(i)$表示$gcd$恰好为$i$的方案数 那么，要求的是$f(1)
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摘要：【BZOJ4652】循环之美（莫比乌斯反演，杜教筛） 题解 到底在求什么呢。。。 首先不管他$K$进制的问题啦，真是烦死啦 所以，相当于有一个分数$\frac{i}{j}$ 因为值要不相等 所以有$i \perp j$，也就是$gcd(i,j)=1$ 现在考虑$K$进制 先从熟悉的$10$进制入手
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摘要：【Luogu3768】简单的数学题（莫比乌斯反演，杜教筛） 题面 "洛谷" $$求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)$$ $ n include include include include include include include include incl
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摘要：【BZOJ4916】神犇和蒟蒻（杜教筛） 题面 "BZOJ" 求 $$\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\ \ 和\ \sum_{i=1}^n\varphi(i^2)$$ 其中$$n include include include include include include include
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摘要：【BZOJ3944】Sum（杜教筛） 题面 求$$\sum_{i=1}^n\mu(i)和\sum_{i=1}^n\phi(i)$$ 范围：$n include include include include include include include include include using
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摘要：【BZOJ2820】YY的GCD（莫比乌斯反演） 题面 "讨厌权限题！！！提供洛谷题面" 题解 单次询问$O(n)$是做过的 "一模一样的题目" 但是现在很显然不行了， 于是继续推 $$ans=\sum_{d=1}^n[d\_is\_prime]\sum_{i=1}^{n/d}[\frac{n}{i
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摘要：【BZOJ4816】数字表格（莫比乌斯反演） 题面 "BZOJ" 求 $$\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf[gcd(i,j)]$$ 题解 忽然不知道这个要怎么表示。。。 就写成这样吧。。 $$\prod_{d=1}^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mif(g
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