【BZOJ3243】【NOI2013】向量内积（矩阵，数论）

【BZOJ3243】【NOI2013】向量内积（矩阵，数论）

题面

BZOJ

题解

这题好神仙。
首先\(60\)分直接是送的。加点随机之类的可以多得点分。
考虑正解。
我们先考虑一下暴力。
我们把\(n\)个向量拼接在一起，形成一个\(n\times d\)的矩阵。
显然这个矩阵和它的转置矩阵，也就是一个\(d\times n\)的矩阵做乘法，
结果是一个\(n\times n\)的矩阵，第\(i\)行第\(j\)列就是\(i,j\)两个向量的结果。
如果这个矩阵全是\(1\)（除主对角线），那么必定是无解的。
否则我们只需要在这个矩阵上随便找到一个零就好了。
然而这样子和暴力的复杂度是一模一样的。
利用一些随机的性质来优化。
对于任意一个向量，我们考虑前面所有向量和它的内积的和。
首先考虑模\(2\)意义下，结果只有\(0,1\)
如果前面所有的向量和它的内积都是\(1\)，那么假设当前是第\(i\)个向量，
必定就有前面所有的内积结果和\(i-1\)同余，那么如果一旦不同余证明有内积为\(0\)
这样子可以很容易被\(hack\)，所以我们多算几次，每次随机化一些顺序就好了。
对于模\(3\)意义，结果有\(0,1,2\)，如果继续按照之前那么算会错。
考虑内积的平方，这样模之后的结果就只有\(0,1\)了，就和前面是一样的了。
当然了，写的时候全部当做平方算就好了，没有影响的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 111111
#define ll long long
#define RG register
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,D,K,Vec[MAX][100],p[MAX],c[100][100];
int Calc(int a,int b)
{
	int ret=0;
	for(int i=0;i<D;++i)ret=(ret+Vec[a][i]*Vec[b][i])%K;
	return ret;		
}
int Solve(int x)
{
	int ret=0;
	for(int i=0;i<D;++i)
		for(int j=0;j<D;++j)
			ret+=c[i][j]*Vec[x][i]*Vec[x][j],c[i][j]+=Vec[x][i]*Vec[x][j];
	return ret%K;		
}
int main()
{
	n=read();D=read();K=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<D;++j)Vec[i][j]=read()%K;
	for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=i;
	int Case=5;
	while(Case--)
	{
		random_shuffle(&p[1],&p[n+1]);;memset(c,0,sizeof(c));
		for(int i=1;i<=n;++i)
			if(Solve(p[i])!=(i-1)%K)
				for(int j=1;j<i;++j)
					if(Calc(p[i],p[j])%K==0)
					{
						if(p[i]>p[j])swap(p[i],p[j]);
						printf("%d %d\n",p[i],p[j]);
						return 0;
					}
	}
	puts("-1");return 0;
}