随笔分类 - 数学方法 -- 数论
摘要：【51Nod1584】加权约数和（数论） 题面 "51Nod" 题解 要求的是$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n max(i,j)\sigma(ij)$$ 这个$max$太讨厌了，直接枚举一半乘个二。 $$2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i}i\sigma(ij)
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摘要：【51Nod1769】Clarke and math2（数论，组合数学） 题面 "51Nod" 题解 考虑枚举一个$i_k$，枚举一个$i$，怎么计算$i_k$对$i$的贡献。 把$\frac{i}{i_k}$拆掉，维护一个长度为$k$的数组，表示$\frac{i_{k 1}}{i_{k}}$，对于
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摘要：【洛谷5438】【XR 2】记忆（数论） 题面 "洛谷" 题解 很好的一道题目。 我们首先把所有数的每个质因子的出现次数模二，也就是把最大的完全平方因子给除掉。然后剩下部分一样的就可以产生$1$的贡献，所以答案就是$r l+1$减去除掉完全平方因子之后不同的数的个数。 那么如果$l=1$，答案就是不
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摘要：【LOJ 3144】[APIO2019]奇怪装置（数论） 题面 "LOJ" 题解 突然发现$LOJ$上有$APIO$的题啦，赶快来做一做。 这题是窝考场上切了的题嗷。写完暴力之后再推了推就推出正解了。。。 考虑$t1,t2$两个时刻，如果两个时刻的$(x,y)$相等的话，考虑是一种什么样的情况。 $
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摘要：【Luogu5348】密码解锁（莫比乌斯反演，数论） 题面 "洛谷" 题解 首先题目给定的限制是$\sum_{n|i}a[i]=\mu(n)$，然后把这个东西反演一下， 莫比乌斯反演的式子是：$g(n)=\sum_{n|i}f(i)\rightarrow f(n)=\sum_{n|i}g(i)\mu
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摘要：【BZOJ4002】[JLOI2015]有意义的字符串（数论，矩阵快速幂） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 发现我这种题总是做不动。。。 令$A=\frac{b+\sqrt d}{2},B=\frac{b \sqrt d}{2}$。 发现$A+B=b,AB=\frac{b^2 d}{4}$。 要
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摘要：[BJOI2019]勘破神机（斯特林数，数论） 题面 "洛谷" 题解 先考虑$m=2$的情况。 显然方案数就是$f_i=f_{i 1}+f_{i 2}$，即斐波那契数，虽然这里求出来是斐波那契的第$n+1$项，但是本质上没什么区别，就默认是斐波那契数列了。 斐波那契数列的特征根是$\alpha=\f
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摘要：【CF932E】Perpetual Subtraction（NTT，线性代数） 题面 "洛谷" "CF" 题解 设$f_{i,j}$表示$i$轮之后这个数恰好为$j$的概率。 得到转移：$\displaystyle f_{i,j}=\sum_{k=j}^{n}f_{i 1,k} \frac{1}{k
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摘要：【BZOJ2721】樱花（数论） 题面 "BZOJ" 题解 先化简一下式子，得到：$\displaystyle n!(x+y)=xy$，不难从这个式子中得到$x,y\gt n!$。 然后通过$x$来表示$y$，得到$\displaystyle y=\frac{n!x}{x n!}$。令$x=n!+p
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摘要：【BZOJ5332】[SDOI2018]旧试题（数论，三元环计数） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 如果只有一个$\sum$，那么我们可以枚举每个答案的出现次数。 首先约数个数这个东西很不爽，就搞一搞，变成$\displaystyle \sum_{d|i}1$ 那么原式就可以写成：$\displ
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摘要：【BZOJ3157/3516】国王奇遇记（数论） 题面 "BZOJ3157" "BZOJ3516" 题解 先考虑怎么做$m\le 100$的情况、 令$f(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n i^k m^i$，然后推式子： $$\begin{aligned} f(n+1,
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摘要：【BZOJ2137】submultiple（数论） 题面 "BZOJ" 题解 首先不难发现答案就是：$\displaystyle\prod_{i=1}^n (\sum_{j=1}^{p_i+1}j^k)$。 数据范围给定了。 发现对于$p_i$很小的时候，可以直接用快速幂预处理出来，这样子可以做到$
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摘要：【BZOJ3601】一个人的数论（数论） 题面 "BZOJ" 怎么这图片这么大啊。。。 题解 要求的是$\displaystyle \sum_{i=1}^n [gcd(i,n)=1]i^d$ 然后把$gcd=1$给拆了，$\displaystyle \sum_{i=1}^n i^d\sum_{x|i
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摘要：【BZOJ3561】DZY Loves Math VI （数论） 题面 "BZOJ" 题解 $$\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^n "gcd(i,j)=d" ^d\\ &=\sum_{d=1}^nd^d\sum_{i=1
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摘要：【BZOJ3817/UOJ42】Sum（类欧） 题面 "BZOJ" "UOJ" 题解 令$x=\sqrt r$，那么要求的式子是$$\sum_{d=1}^n( 1)^{[dx]}$$ 不难发现，对于每个$d$而言的取值只和$[dx]$的奇偶性相关。 如果$x$是个整数，也就是$r$是完全平方数的时候
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摘要：【BZOJ2299】[HAOI2011]向量（数论） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 首先如果我们的向量的系数假装可以是负数，那么不难发现真正有用的向量只有$4$个，我们把它列出来。$(a,b)(a, b)(b,a)(b, a)$，我们假设这四个出现的次数分别为$c1,c2,c3,c4$。 那么
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摘要：【BZOJ1876】[SDOI2009]SuperGCD（数论，高精度） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 那些说数论只会$gcd$的人呢？我现在连$gcd$都不会，谁来教教我啊？ 显然$gcd$除了辗转相除之外还可以辗转相减，然而辗转相减对于这题而言显然还不够优秀。 我们这样子来做。 如果当前$
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摘要：【BZOJ2257】[JSOI2009]瓶子和燃料（数论） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 很明显就是从$n$个数里面选$K$个数让他们的$gcd$最大。 暴力找所有数的因数，拿个什么东西存一下就好了。
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摘要：【BZOJ1965】[AHOI2005]洗牌（数论） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 考虑反过来做这个洗牌的操作，假定当前牌是第$l$张。 因为之前洗的时候考虑了前一半和后一半，所以根据$l$的奇偶性可以判定在前一半还是后一半，那么$l/2$就是在这一半里面在它前面的张数，这样子很容易就可以还原
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摘要：【Luogu4609】建筑师（组合数学） 题面 "洛谷" 题解 首先发现整个数组一定被最高值切成左右两半，因此除去最高值之后在左右分开考虑。 考虑一个暴力$dp$ ，设$f[i][j]$表示用了$i$个数并且能够看到$j$个的方案数，强制最大值在最右侧。 每次添加最小的一个数放进来：$f[i][j]
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