第四章作业

一、选点问题分析
1、选点问题定义（核心：区间选点）
给定数轴上的n个闭区间[a_i, b_i]，要求选择最少的点，使得每个区间至少包含一个选点。
例如：区间{[1,3], [2,5], [4,6]}，选点4即可覆盖所有区间，是最优解。

2、选点问题的贪心策略
核心策略（三步搞定）

1. 排序：将所有区间按右端点b_i升序排列（关键步骤）。
2. 初始化：选第一个区间的右端点作为第一个选点p，计数count=1。
3. 遍历选点：依次检查后续每个区间：
   • 若当前区间的左端点a_i > p（该区间没被p覆盖），则选该区间的右端点作为新的p，计数count++；
   • 若a_i ≤ p（已被覆盖），直接跳过。

示例
区间{[1,5], [2,3], [4,6], [7,8]}：

1. 排序后：[2,3]、[1,5]、[4,6]、[7,8]；
2. 选第一个点p=3（覆盖前两个区间）；
3. 遇到[4,6]（4>3），选p=6（覆盖该区间）；
4. 遇到[7,8]（7>6），选p=8；
   最终选点3个，是最优解。

3、贪心选择性质证明（简化版）
贪心选择性质：每一步的局部最优选择能得到全局最优解。
用反证法证明选第一个区间的右端点是最优的：

1. 假设最优解的第一个点不是第一个区间的右端点p1，而是q（q≠p1）；
2. 若q > p1：第一个区间[a1,p1]不会被q覆盖，最优解需要额外加一个点，与“最优”矛盾；
3. 若q < p1：把q换成p1，能覆盖更多后续区间，新的点集合依然是最优解；
   因此，选第一个区间的右端点是全局最优的第一步。
   以此类推，每一步选当前区间的右端点都能得到全局最优解
   4、时间复杂度分析
4. 排序：对n个区间排序，时间复杂度O(n log n)（主要耗时）；
5. 遍历：仅遍历一次区间，时间复杂度O(n)；
   整体时间复杂度**：O(n log n)（排序是主导）。

二、对贪心算法的理解（通俗版）

1. 核心逻辑：走一步看一步，每一步都选当前最“划算”的局部最优解，不回头、不后悔，最终希望得到全局最优。
2. 关键前提：问题必须满足贪心选择性质（局部最优能推全局最优）和最优子结构（问题的最优解包含子问题的最优解），否则贪心会得到次优解。
3. 优缺点：
   • 优点：简单、高效，时间复杂度通常很低（如选点问题的O(n log n)）；
   • 缺点：不是所有问题都适用，比如0-1背包问题用贪心（选单位价值最高）会出错，而分数背包问题则适用。
4. 和动态规划的区别：贪心是“自顶向下”一步到位，动态规划是“自底向上”记录子问题解（能处理更多问题，但效率稍低）。