【随笔浅谈】欧拉函数简要推导

命题

定义欧拉函数 \(\varphi(n)\) 为 " 在 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数 "。

设 \(n\) 有 \(m\) 个质因子，从小到大为 \(p_1, p_2, ...,p_m\)，则：

\[\varphi(n) = n \prod\limits_{i = 1}^m \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) \]

证明

考虑构造 \(m\) 个集合 \(A_1,...,A_m\)，其中 \(A_i = \{x \in [1, n] \bigcap \mathbb{Z} \mid \, x \bmod p_i = 0 \}\)。

显然，在 \(1 \sim n\) 与 \(n\) 不互质的数的集合为：

\[\bigcup\limits_{i=1}^m A_i \]

故 \(\varphi(n)\) 为：

\[n - \left| \bigcup\limits_{i=1}^m A_i \right| \]

由容斥原理，得：

\[n - \left( \frac{n}{p_1} + \cdots + \frac{n}{p_m} \right) + \left(\frac{n}{p_1p_2} + \frac{n}{p_1p_3} + \cdots\right) - \cdots + (-1)^{m}\frac{n}{p_1p_2 ... p_m} \]

将公因式 \(n\) 提取，通分得：

\[n \cdot \frac{(-1)^{m} + (-1)^{m - 1} \left( p_1 + p_2 + \cdots \right) + \cdots + p_1p_2 ... p_m }{p_1p_2 ... p_m} \]

考虑构造 \(m\) 个二元组，第 \(i\) 个二元组为 \((p_i, -1)\)。则上式分子中的每一项，都可以通过在这 \(m\) 个二元组中，依次选择其中的一个数乘起来而得到。故可以化简得：

\[n \cdot \frac{(p_1 - 1)(p_2 - 1) \cdots (p_m - 1)}{p_1p_2 \cdots p_m} \]

\[n \prod\limits_{i=1}^m \left(1-\frac{1}{p_i}\right) \]

Q.E.D