AT_abc232_g Modulo Shortest Path

有趣题。

考虑最短路径 \(S=[S_1,S_2,\cdots,S_k]\)，那么代价是 \(\sum ((a_{S_i}+b_{S_{i+1}})\bmod M)\)。

考虑 \(a_i\leftarrow (M-a_i)\bmod M\)，那么 \((b_{S_{i+1}}-a_{S_i})\bmod M\) 实际上就是有向环上的距离，而 \(B\to A\) 就是 \(B\) 可以免费跳到 \(A\)。

建图跑最短路即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int> ;
template <typename T> bool Chkmin(T &x, T y) { return (x > y) ? (x = y, 1) : 0; }

const int kN = 4e5 + 5;
int n, m, tot;
int a[kN], b[kN], t[kN];
ll dis[kN];
bool vis[kN];
vector<pii> g[kN];

void AddEdge(int u, int v, int w) {
  g[u].emplace_back(v, w);
}
void Dijkstra(int s) {
  memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
  priority_queue<pair<ll, int>> q;
  q.emplace(dis[s] = 0, s);
  while(q.size()) {
    int x = q.top().second; q.pop();
    if(vis[x]) continue;
    vis[x] = 1;
    for(pii k : g[x]) {
      int to, w;
      tie(to, w) = k;
      if(Chkmin(dis[to], dis[x] + w)) q.emplace(-dis[to], to);
    }
  }
}

int main() {
  // freopen("1.in", "r", stdin);
  // freopen("1.out", "w", stdout);
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m;
  for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], a[i] = t[++tot] = (m - a[i]) % m;
  for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i], t[++tot] = b[i];
  sort(t + 1, t + tot + 1);
  tot = unique(t + 1, t + tot + 1) - t - 1;
  for(int i = 1; i <= tot; i++) {
    int nxt = i % tot + 1;
    AddEdge(i, nxt, (t[nxt] + m - t[i]) % m);
  }
  int p1 = 0, pn = 0;
  for(int i = 1; i <= n; i++) {
    int pa = lower_bound(t + 1, t + tot + 1, a[i]) - t;
    int pb = lower_bound(t + 1, t + tot + 1, b[i]) - t;
    AddEdge(pb, pa, 0);
    if(i == 1) p1 = pa;
    if(i == n) pn = pb;
  }
  Dijkstra(p1);
  cout << dis[pn] << "\n";
  return 0;
}