欧拉回路与欧拉路径

概念

欧拉路径指一条所有边都经过且只有一次的路径
如果起点和终点相同就是欧拉回路

判定

有向图：所有点连通，且入度都等于出度，则有欧拉回路
无向图：所有点连通，且度数为偶数，则有欧拉回路
显然欧拉回路删掉一条边就是欧拉路径
那么欧拉路径中有且只有两个不符合欧拉回路要求的点，并且相连后就满足了

算法

求欧拉路径就把不满足的点连起来，求欧拉回路后删掉这条边就好了

无向图

\(dfs\)，标记走过的边以及反边，走过就不走
每次回溯时记录边，这些边依次构成欧拉回路

有向图

边反向，\(dfs\)标记走过的边，每次回溯时记录边，这些边依次构成欧拉回路

都差不多，然后可以当前弧优化

正确性

除了第一个点外，其它的点\(dfs\)是一定是入边出边成对出现
所以第一次加入答案的边一定是第一个点的入边
回溯时这个点又会多走一条出边，那么下次加入的一定是又是这个点的入边
归纳下去，一定会形成一条回路

代码

\(UOJ\)模板

# include <bits/stdc++.h>
# define RG register
# define IL inline
# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int _(4e5 + 5);
typedef int Arr[_];

IL int Input(){
    RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar();
    for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
    return x * z;
}

Arr first, cur, vis, ans, rd, od;
int n, m, cnt, num;
struct Edge{
    int to, next, id;
} edge[_];

IL void Add1(RG int u, RG int v, RG int id){
	++rd[u], ++rd[v];
    edge[cnt] = (Edge){v, first[u], id}, first[u] = cnt++;
    edge[cnt] = (Edge){u, first[v], -id}, first[v] = cnt++;
}

IL void Dfs1(RG int u){
	for(RG int &e = cur[u]; e != -1; e = edge[e].next){
		if(vis[e]) continue;
		RG int tmp = e; vis[e] = vis[e ^ 1] = 1;
		Dfs1(edge[e].to);
		ans[++num] = edge[tmp ^ 1].id;
		if(e == -1) return;
	}
}

IL void Work1(){
	Fill(first, -1), n = Input(), m = Input();
	for(RG int i = 1, u, v; i <= m; ++i) u = Input(), v = Input(), Add1(u, v, i);
	for(RG int i = 1; i <= n; ++i){
		cur[i] = first[i];
		if(rd[i] & 1){
			puts("NO");
			return;
		}
	}
	for(RG int i = 1; i <= n; ++i)
		if(rd[i]){
			Dfs1(i);
			break;
		}
	if(num != m){
		puts("NO");
		return;
	}
	puts("YES");
	for(RG int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d ", ans[i]);
	puts("");
}

IL void Add2(RG int u, RG int v, RG int id){
	++rd[v], ++od[u];
    edge[cnt] = (Edge){v, first[u], id}, first[u] = cnt++;
}

IL void Dfs2(RG int u){
	for(RG int &e = cur[u]; e != -1; e = edge[e].next){
		if(vis[e]) continue;
		RG int tmp = e; vis[e] = 1;
		Dfs2(edge[e].to);
		ans[++num] = edge[tmp].id;
		if(e == -1) return;
	}
}

IL void Work2(){
	Fill(first, -1), n = Input(), m = Input();
	for(RG int i = 1, u, v; i <= m; ++i) u = Input(), v = Input(), Add2(v, u, i);
	for(RG int i = 1; i <= n; ++i){
		cur[i] = first[i];
		if(rd[i] != od[i]){
			puts("NO");
			return;
		}
	}
	for(RG int i = 1; i <= n; ++i)
		if(od[i]){
			Dfs2(i);
			break;
		}
	if(num != m){
		puts("NO");
		return;
	}
	puts("YES");
	for(RG int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d ", ans[i]);
	puts("");
}

int main(RG int argc, RG char *argv[]){
	Input() == 1 ? Work1() : Work2();
    return 0;
}