随笔分类 - 数论数学--生成函数
摘要："传送门" 考虑枚举一条路径 $u,v$，求出所有边经过它的答案 只需要求出 $u$ 的子树内选出 $k$ 个可以重复的点，使得它们到 $u$ 的路径不相交 不难发现，就是从 $u$ 的儿子的子树内各自选一个以及可以选多次 $u$ 自己 设这个方案数为 $f_u$ 再设 $size_u$ 表示 $u
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摘要："传送门" ~~抄题解~~ $Task0$，随便做一下，设 $cnt$ 为相同的边的个数，输出 $y^{n cnt}$ $Task1$，给定其中一棵树 设初始答案为 $y^n$，首先可以发现，每有一条边和给定的树相同就会使得答案除去 $y$ 那么可以利用矩阵树定理，已经有的边权值为 $y^{ 1}$
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摘要："传送门" 由于是边权三进制不进位的相加，那么可以考虑每一位的贡献 对于每一位，生成树的边权相当于是做模 $3$ 意义下的加法 考虑最后每一种边权的生成树个数，这个可以直接用生成函数，在矩阵树求解的时候做一遍这个生成函数的模 $3$ 意义下的循环卷积求出系数即可 暴力多项式运算不可取 考虑选取 $3
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摘要："传送门" $d=1$ 输出 $k^n$ $d=2$，构造生成函数，就是求 $$(\sum_{i=0}^{\infty}[2|i]\frac{x^i}{i!})^k[x^n]=(\frac{e^x+e^{ x}}{2})^k$$ 直接二项式定理展开求 $n$ 次项系数即可 $d=3$，构造生成函数，
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摘要："传送门" 求每个珠子的方案数 即有序的求三元组 $(x,y,z),x,y,z\le a$ 满足 $gcd(x,y,z)=1$ 设 $G_i$ 表示 $i$ 个小于等于 $a$ 的有序数字，满足 $gcd=1$ 的方案数 容斥得到要求的 $$\frac{1}{6}(G_3+2G_2+3G_1)$$
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摘要：首先 $$h_n=\sum_{i}h_ih_{n i 1}$$ 写出 $h$ 的母函数 $H(x)$ 那么 $$H(x)=H^2(x)x+1,H(x)=\frac{1 \sqrt{1 4x}}{2x}$$ (解二元一次方程取符号时候要看是否收敛) 引入 牛顿二项式 $$(x+y)^{\alpha}=
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摘要："传送门" Sol 构造 $fib$ 数列的母函数 $F(x)$ 那么答案就是 $$[x^n]\sum_{i=1}^{\infty}F^i(x)=[x^n]\frac{F(x)}{1 F(x)}$$ 而 $$F(x)=xF(x)+x^2F(x)+x,F(x)=\frac{x}{1 x x^2}$$
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摘要：划分关系 ~~姑且这么叫着~~ 设满足性质 $A$ 的集合为 $S_A$，每个元素有标号 如果 $S_B$ 是由若干个 $S_A$ 组成的一个大集合 设 $a_i$ 表示大小为 $i$ 的 $S_A$ 的个数 设 $b_i$ 表示大小为 $i$ 的 $S_B$ 的个数 构造指数级生成函数 $$A(x
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摘要："传送门" II 设 $f_i$ 表示 $i$ 个点的答案 那么枚举至少 $j$ 个点的出度为 $0$ $$\sum_{j=0}^{i}( 1)^j\binom{i}{j}f_{i j}2^{(i j)j}=0$$ 所以 $$f_i=\sum_{j=1}^{i}( 1)^{j+1}\binom{i}
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摘要："传送门" 题目大意 你有 $n$ 个数 $a_1,a_2...a_n$ 要进行 $k$ 次操作 每次随机选择一个数 $x$，使得答案加上 $\prod_{i \neq x}a_i$ ，并将 $a_x$ 减去 $1$ 求最后答案的期望，对 $1e9+7$ 取模 Sol 设 $b_i$ 表示 $i$
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摘要："传送门" Sol 设 $f_x$ 表示权值为 $x$ 的二叉树的个数 设 $s_x$ 表示是否有 $x$ 这种权值可以选择 那么 $$f_n=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n i}f_jf_{n i j}s_i$$ 构造 $$F(x)=\sum_{i=0}f_ix^i$$ $
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摘要："ZJL 的妹子序列" 暴力就是 $\Theta(n\times m)$ 如果 $n,m \le 10^5$ ？ 考虑问题的转换，设 $a_i$ 表示 $i$ 小的在它后面的数的个数 $0\le a_i \le i 1$，显然任何一个满足要求的 $a$ 数列都可以从大到小放数字构成一个满足要求的排列
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