求树的直径算法

求树的直径算法

标签： 图论——树的直径
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树的直径

树的直径是树上的最长路

求法：2遍\(Dfs(Bfs)\)

没错，真的这么简单......

1. 先随便找个点i开始\(Dfs\)，然后找到一条最长路径(假设终点是\(u\))
2. 然后从u开始再一次\(Dfs\)，再找到一条最长路径(假设终点是\(v\))，\((u,v)\)就是树的直径了......
   PS:树的直径可以有多条(想想定义就知道)

证明：为什么呢？

假设树的直径是\((u,v)\)，第一次\(Dfs\)找到\((i,j)\)
如果我们\(Dfs\)找到了树的直径的一端\((u/v)\)，那么第二次就一定可以找到树的直径对吧
那么证明转化成了第一次\(Dfs\)是否找到了树的直径的一端\((u/v)\)
PS:建议自己手动画棵树来一边看着证明 效果更佳

首先假设i在最长路径上：

• 反证法：
• 如果找到的(i,j)不是(i,u)，那么(i,j)一定可以和(i,v)拼成另一条更长路(j,v)
  （因为(i,j)>=(i,u)而等于正印证了上面讲到的多条直径)，所以与假设(u,v)是最长路不符，那么猜想的方法成立

如果i不在最长路上呢？

1. 首先\(i\)肯定可以和最长路上的一个点\(k\)（从\(i\)到最长路最先遇到的点）连通对吧
2. 我们假设\(u\)是最长路距离\(k\)较远的一个末端，那么从\(i\)找出去的最长路一定会到\(u\)

• 证明：如果(i,j)不是(i,u)（即(i,j)>(i,u)），那么(i,j)+(i,k)>(j,u)，即我们找到了另一条(j,k)>(j,u)，那么说明我们假设的直径(u,v)又可以被更长的(k,v)更新，假设不成立，那么猜想成立，证明完毕

总结一下

综上所述，两遍\(Dfs(Bfs)\)可以找到树的直径
而树的直径在很多图论题里面是很有用的，这种方法就保证了我们的时间复杂度O(n)
为我们其他计算提供了更优的复杂度空间。。。
\(yep\)

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