生成函数

OGF

给定由无标号对象构成的集合\(A\)，对于每个\(a\in A\)，定义其大小\(|a|\in\mathbb N\)。
设\(A_n=\sum\limits_{a\in A}[|a|=n]\)，那么我们称\(A\)的OGF为\(A(x)=\sum\limits_{n\ge 0}A_nx^n\)。

运算

若\(A\cap B=\varnothing\wedge C=A\cup B\)，那么\(C(x)=A(x)+B(x)\)。

若\(C=A\times B\)，定义\(|c=(a,b)|=|a|+|b|\)，那么\(C(x)=A(x)B(x)\)。

若\(C\)中的元素是由\(A\)中元素排成的序列，一个序列的大小定义为序列中所有元素大小的和，且\(\forall a\in A,|a|\in\mathbb N_+\)，那么\(C(x)=\frac1{1-A(x)}\)。

EGF

给定由有标号对象构成的集合\(A\)，对于每个\(a\in A\)，定义其大小\(|a|\in\mathbb N\)。
设\(A_n=\sum\limits_{a\in A}[|a|=n]\)，那么我们称\(A\)的EGF为\(A(x)=\sum\limits_{n\ge 0}A_n\frac{x^n}{n!}\)。

对于两个有标号对象\(a,b\)，设其分别带有\([n],[m]\)的标号。
若我们将\(a,b\)拼接得到\(c=(a,b)\)，那么我们需要给\(c\)重新分配\([n+m]\)的标号，规定给\(c\)分配标号时需保证原有标号的相对顺序，那么有\({n+m\choose n}\)种方案。

运算

若\(A\cap B=\varnothing\wedge C=A\cup B\)，那么\(C(x)=A(x)+B(x)\)。

若\(C=A\times B\)，定义\(|c=(a,b)|=|a|+|b|\)，那么\(C(x)=A(x)B(x)\)。

对于有标号对象集合\(A\)，若\(C\)中的元素是由\(A\)中元素组成的集合，一个集合的大小定义为集合中所有元素大小的和，且\(\forall a\in A,|a|\in\mathbb N_+\)，那么\(C(x)=\exp(A(x))\)。

PGF

给定\(\mathbb N\)上的离散随机变量\(X\)，设\(\Pr(X=n)=a_n\)，那么\(\{a\}\)的OGF称为\(X\)的PGF。
即\(F(z)=\operatorname E[z^X]=\sum\limits_{n\ge 0}\Pr(X=n)x^n\)。

性质

\(F(1)=1\)
\(\operatorname E[X^{\underline k}]=F^{(k)}(1)\)
\(\operatorname{Var}[X]=F''(1)+F'(1)-(F'(1))^2\)