AT5744 Span Covering

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在放的过程中，被覆盖的位置会形成若干个区间。而我们并不需要关心区间的位置，只需要关心其长度。
设\(f_{i,j,k}\)表示用了\(i\)条线段，形成了\(j\)个区间，长度和为\(k\)的方案数。
我们将所有线段按\(L\)降序排序，然后依次枚举。
边界状态为\(f_{1,1,L_1}=1\)。
对于\(f_{i-1,j,k}\)，考虑加入长度为\(L_i\)的线段有什么可能的情况：
\(1.\)这条线段被某个区间完全覆盖（注意到我们是按长度降序枚举线段，因此之前的任何一个区间都比现在的线段要长）：

\[(k-j(L_i-1))*f_{i-1,j,k}\rightarrow f_{i,j,k} \]

\(2.\)这条线段自成一个区间：

\[f_{i-1,j,k}\rightarrow f_{i,j+1,k+L_i} \]

\(3.\)这条线段与一个区间有重合部分，枚举未重合部分的长度\(l\)：

\[2j*f_{i-1,j,k}\rightarrow f_{i,j,k+l} \]

\(4.\)这条线段与两个区间有重合部分，枚举未重合部分的长度\(l\)：

\[(j-1)(L_i-l-1)*f_{i-1,j,k}\rightarrow f_{i,j-1,k+l} \]

最后的答案就是\(\sum\limits_{i=1}^nf_{n,i,m}\)。
直接转移的时间复杂度是\(O(n^2m^2)\)的，注意到当\(i*j>m\)时\(f_{i,j,k}=0\)，因此可以优化至\(O(nm^2)\)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<functional>
const int P=1000000007;
int a[107],f[107][107][507];
int read(){int x;scanf("%d",&x);return x;}
void inc(int&a,int b){a+=b-P,a+=a>>31&P;}
int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%P;}
int main()
{
    int n=read(),m=read(),ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    std::sort(a+1,a+n+1,[](int i,int j){return i>j;}),f[1][1][a[1]]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
	for(int j=0;j<=i;++j)
	    for(int k=0;k<=m;++k)
		if(f[i-1][j][k])
		{
		    inc(f[i][j][k],mul(k-(a[i]-1)*j,f[i-1][j][k]));
		    if(k+a[i]<=m) inc(f[i][j+1][k+a[i]],mul(j+1,f[i-1][j][k]));
		    if(j) for(int l=1;l<a[i]&&k+l<=m;++l) inc(f[i][j][k+l],mul(j*2,f[i-1][j][k]));
		    if(j>1) for(int l=0;l<a[i]&&k+l<=m;++l) inc(f[i][j-1][k+l],mul((j-1)*(a[i]-l-1),f[i-1][j][k]));
		}
    for(int i=1;i<=n;++i) inc(ans,f[n][i][m]);
    printf("%d",ans);
}