最大公约数问题的基本求法是辗转相除法，辗转相除法的思想是这样的：首先两个数x，y，假设x>y，那么x ＝ ky＋b。x，y的公约数一定能够同时整除y，b。那么x，y的最大公约数一定就是y，b的最大公约数，如此不断的转换，直到b为0为止。

　　代码如下：

1 public int gcd(int x,int y){
2      return (!y)?x:gcd(y,x%y);  
3 }

　　由于取模运算是非常昂贵的开销，所以会成为程序的瓶颈，需要采用一些办法不使用取模操作。换一种思路，如果一个数能同时整除x，y，那么必然能够同时整除x－y和y，那么x，y的最大公约数一定就是x－y和y的最大公约数。如此循环，直到一方为0为止，为了防止出现x－y是负值的情况，所以要保证函数中的x一定大于y，如果x－y《y，那么就gcd（y，x－y）。具体代码如下：

　　

 1 public int gcd(int x,int y){
 2      if(x<y){
 3          return   gcd(y,x)
 4       }  
 5      if(y==0){
 6          return x;
 7      }else{
 8         return gcd(x-y,y);
 9     }
10 }

　　以上的代码用减法代替了除法，能够有更好的执行效率。但是迭代次数也增多了很多，在极端情况下，比如（10000000，1）这种情况，就相当糟糕了。

　　因此需要一种方式，同时减少除法运算和减法运算。

　　这就是解法三，不过我觉得一般情况下基本上是想不到解法三的做法的，假设k是素数，x＝k＊x1，y％k！＝0，那么x，y的公约数中，肯定不含k，因此x／＝k；如果两个都含k，那么x，y的公约数就等于k＊gcd（x/＝k，y／＝k）。

　　2就是一个最简单的素数，同时在计算机中对2的操作可以转变为左移和右移的操作，非常的节省开销。

　　下面就针对不同的情况进行分析：

　　如果x能被2整除，y不能，那么gcd(x>>1，y)。x不能被2整除，y能被2整除同理。

　　如果x，y都能被2整除，则将这个2提取出来，2*gcd(x>>1,y>>1)。

　　如果x，y都不能被2整除，那么就用解法二的方法，算x和x－y的公约数，由于x，y为奇数，所以x－y一定是偶数，所以一定能变成上面的情况。具体代码如下：

　　

 1 public int gcd(int x,int y){
 2      if(x<y){
 3           return gcd(y,x);
 4      }  
 5      if(y==0)
 6           return x;
 7      if(x%2!=0){
 8          if(y%2!=0){
 9               return gcd(x-y,y)
10          }else{
11               return gcd(x,y>>1);
12          }
13      }else{
14          if(y%2!=0){
15              return gcd(x>>1,y);
16          }else{
17              return gcd(x>>1,y>>1)<<1;
18          }
19      }    
20 }

　　另外为了增加适用性，在gcd的参数中不一定是限定int类型，可以使BigInteger类型的。