浅谈PvsNP
Preface
学校的计算理论初探课程要求写篇关于这个的小论文， 写完后发现也算是有所收获，遂扔到博客里水一下。
算法与时间复杂度
算法构成了计算机解决问题的基本单元，每个算法的执行都需要时间和空间。通常的，输入规模越大，往往需要的时间和空间越多。
虽然算法的实际运行效率会受到诸如硬件条件之类的影响，但是输入规模和时间的增长关系总是很定不变的。
如果输入规模用\(n\)表示，那么我们可以引入\(O(f(x))\)表示它的时间频度，以此来度量算法的运行效率。
比较常见的算法复杂度有\(O(n),O(n^c),O(2^n),O(n!)\)等，不同的复杂度的算法在\(n\)增长时所消耗的时间的增长速度是大不相同的。
而随着算法的发展，人们发现很多问题的有效算法的最优复杂度都是指数级别的，而这类复杂度的规模-时间增长太快，我们是没有信心去解决的。 因为时间增长的速度，远远超过了我们计算能力增长的速度。
P与NP的定义
由此我们引出了\(P\)问题的定义，所有能用多项式时间算法计算得到结果的问题，称为多项式问题。
而\(NP\)的定义，如果你只是如字面上看起来那样去理解，指不能用多项式时间算法计算得到结果的问题，那就大错特错了
\(NP\)的真正定义是指，存在多项式算法能够验证的非决定性问题。
简单来说，对于某个问题如果我给你一个解，只要能在多项式时间内判断这个解是否正确，我们就把他归类为\(NP\)问题
而对于某个问题，验证一个解是否合法和找出解之间的复杂度差异可能会很大。
比如我们很难在多项式时间内给出一个数独的合法解，但如果给你一个填好了数的棋盘让你验证的话问题就非常容易了。
P vs NP
回到\(NP\)的定义，我们不难发现\(P\)问题一定属于\(NP\)问题的范畴，因为既然我都能用多项式时间求解了，大不了就再算一遍就行了呗。
那么我们就很容易想到，那是否存在一个问题属于\(NP\)的范畴而不属于\(P\)的范畴呢？
换句话说，比如对于数独问题，它到底能不能在多项式时间内给出一个解呢？这个我们到目前为止还是不得而知。
因此对于\(P\ vs\ NP\)的本质的讨论其实就是在讨论\(P=NP\)或者\(P\ne NP\)。
2000年，克雷顿数学研究所，发布了7个数学难题（Millennium Prize Problems），每个奖励100万美金，其中就有\(P\ vs\ NP\)问题
NPC与NP-Hard
要攻克\(P\ vs NP\)，人们需要找到一些重点问题进行突破。
像诸如排序问题，最短路问题这类早就被提出了多项式复杂度算法的问题显然对攻克\(P\ vs NP\)没有什么帮助，我们要关心的是最难的那些\(NP\)问题。
因此就引出了\(NPC\)的定义，一个属于NP类的问题，但目前为止没办法在P时间内解决（也就是说目前只能在P时间内判断解的正确性）。
由科学家们证明并公认的\(NPC\)问题有很多，诸如\(3-SAT\)、最大团问题、独立集问题、点覆盖问题等。
而\(NPC\)问题还有一大性质就是它们可以在多项式时间内相互规约，比如\(3-SAT\)与最大团问题的相互规约、独立集问题与点覆盖问题的相互规约，这里的篇幅有限就不展开讨论了。
根据上面的讨论，我们发现如果\(P\ne NP\)，那么所有的\(NPC\)问题都应该被单独归为一类，与\(P\)划分开来，正如下图所表示的那样：
除了\(NPC\)外，我们还引入了一种新的定义\(NP-Hard\)，如果所有\(NP\)问题都可以多项式时间归约到某个问题，则称该问题为\(NP-Hard\)。
而如果一个\(NP-Hard\)的问题本身就\(NP\)的，由定义知它一定是\(NPC\)的。
用直观的语言表述就是：\(NP-Hard\)的特征是至少和\(NP\)问题一样难。
P vs NP的未来
时至今日，大部分科学家倾向于\(P\ne NP\)，我个人的看法也同样如此。
因为一旦\(P=NP\)，就会产生很多有意思的问题，因为此时当我们提出一个问题的验证方法后，我们就获得了这个问题的解。
换句话说，以下这些有趣的现象会发生：
- 求解数独、TSP（旅行商问题）等传统算法难题变得轻而易举。
- RSA公钥体系失效，因为做大数的质因数分解就和做乘法一样简单。
- 如果可以验证一个数学公式是否正确，则我们可以让计算机得出推导过程，因此直接导致数学家集体失业。
- 真正意义上的人工智能将会产生，因为计算机在可以判断一些问题的基础上（例如文章是否有意义、音乐是否好听），转手创造出新的作品。
不管怎么说，有关\(P\ vs\ NP\)已经困扰了科学家们许久，而攀登这个计算机科学的巅峰是我们这一代的终极目标，我们还有很长的路要走。
