解决一般图最大匹配的利器——带花树浅析
Preface
好像很久没有学过新算法了罢，或者说没有写过板子的博客了
前段时间在DS专题中可能有学过吉司机线段树，不过由于那个重在思想而且最关键的复杂度证明不太懂也就没有专门写篇博客了
这次在图论专题中补上了OI时一直没学的带花树，不过好像这个科技现在除了做板子题外还没什么太大的用处的说
个人学习自某dalao的Blog，感觉讲的十分清晰易懂，狠狠地好评
前置知识
在二分图的匈牙利算法中，其核心就是寻找尽可能多的增广路过程，这里我们系统性的给出一些概念的定义
- 孤立点：指一个\(u\)，没有与其匹配的点\(v\)
- 交错路（alternating path），指一条图中的路径，满足上面的边在匹配中交替出现
- 增广路（augmenting path），指一条开始并结束于不相同的孤立点的交错路
由于增广路的定义，上面不是匹配的边比是匹配的边多，因此增广路的边条数为奇数
而如果图中没有增广路了，则我们找到了一个最大匹配；否则我们通过增广操作一定可以获得更大的匹配
因此不管是二分图还是一般图，找最大匹配算法的核心都是一直执行增广操作直至不能再增广
关于花的思考
关于花的定义
带花树的核心，莫过于其独特的缩环为花的操作，我们先给出形式化的花的定义：
一朵花\(B\)是图\(G\)中的一个包含\(2k+1\)个点的奇环，其中\(k\)条边在匹配\(M\)中，并存在从环上任意一点\(v\)（也叫花根）到某个孤立点\(w\)的交错路（也叫花茎）
然后我们就可以定义图\(G'\)为将花\(B\)缩为点后的新图，\(M'\)为此时\(G'\)中的匹配
不难发现\(G'\)中含有\(M'\)的增广路当且仅当\(G\)中含有\(M\)的增广路，且\(M'\)在图\(G'\)中的增广路\(P'\)可以通过展开收缩的花来还原得到\(G\)中的匹配\(M\)
如何找到图中的花
- 从一个孤立的点\(w\)开始遍历图
- 从孤立点\(w\)开始遍历，并标记\(w\)为o型点（out of M）
- 交替地用i和o标记结点，保证无两个相邻结点有相同标记
- 如果找到两个相邻结点均含有标记o，那么我们就找到了一个奇环与一朵花
关于花的一些细节
关于前面提到的新图和原图的增广路等价，形式化的表示就是如果在\(P'\)中存在一条\(u\to V_B\to w\)的增广路，这条增广路在原图中可以被替换为\(u\to (u’\to\ldots\to w’)\to w\)，其中\(u',w'\)在花\(B\)中
而与此同时\(u'\to w'\)的选择必须保证此时新增广路仍然是交替匹配的，这个用图会比较好理解：
还有一种比较特殊的情况就是当\(P'\)在\(V_B\)结束时，我们就要把这条增广路替换为\(u\to(u’\to\ldots\to v’)\)，其中\(u',v'\)在花\(B\)中
而与此同时\(u'\to v'\)的选择必须保证此时新增广路仍然是交替匹配的，还是一图胜千言：
因此不论对于哪种情况，把奇环缩成点都能对应处理，这便是带花树算法的核心
一些思考
为什么只考虑缩奇环而不缩偶环，因为偶环的标记是不会发生冲突的
即可以从某个点出发，对一个偶环上的点全部匹配后回到原点，这显然是最优的
而实现的时候我们不需要真正实现缩花的过程，而是隐式地只记录每个点属于哪个花即可
具体实现
我们对于每个点维护以下信息：
- \(type\)，表示这个点的类型，\(0\)为o类点，\(1\)为i类点，\(-1\)为未访问
- \(match\)，表示这个点匹配的点，注意\(match\)具有双向性，即若\(match[x]=y\)，则必有\(match[y]=x\)
- \(pre\)，表示这个点在交错路上相邻但不和当前点构成匹配的点，注意\(pre\)在非花的增广路上是单向的，不过由于在花上增广的方向不定，因此\(pre\)是双向的
- \(father\)，表示这个点所属的花，若不属于任何花则置为本身
然后算法的大致过程如下：
- 若寻找到一个未被标记的未匹配点：将其标记为i型点，找到一条增广路，更新并维护该增广路的信息，完成增广
- 若寻找到一个未被标记的点，但其已经被匹配，将其标记为i型点，并将其匹配的点标记为o型点，加入队列
- 若寻找到一个已经被标记的i型点，说明此时构成偶环，直接无视
- 若寻找到一个已经被标记的o型点，说明此时构成奇环且构成花，在当前扩展出的交错路上找到其公共祖先\(lca\)，\(lca\)此时为花根，沿着两侧的花边爬到花根，将路径上的结点的\(father\)指针更新，标记全部更新为o，并将\(pre\)指针变为双向指针
板子
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=1005;
int n,m,x,y,match[N],ans; vector <int> v[N];
namespace Blossom_Algorithm
{
int fa[N],vis[N],pre[N],tp[N]; queue <int> q;
inline int getLCA(int x,int y)
{
static int idx=0; ++idx; x=fa[x]; y=fa[y];
while (vis[x]!=idx)
{
if (x) vis[x]=idx,x=fa[pre[match[x]]];
swap(x,y);
}
return x;
}
inline void blossom(int x,int y,int lca)
{
while (fa[x]!=lca)
{
pre[x]=y; y=match[x];
if (tp[y]==1) tp[y]=0,q.push(y);
fa[x]=fa[y]=fa[lca]; x=pre[y];
}
}
inline bool Augument(CI s)
{
for (RI i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
memset(tp,-1,sizeof(tp)); q=queue <int>();
q.push(s); tp[s]=0; while (!q.empty())
{
int now=q.front(); q.pop();
for (int to:v[now]) if (!~tp[to])
{
if (pre[to]=now,tp[to]=1,!match[to])
{
for (int x=now,y=to;y;x=pre[y])
match[y]=x,swap(match[x],y);
return 1;
}
tp[match[to]]=0; q.push(match[to]);
} else if (!tp[to]&&fa[now]!=fa[to])
{
int lca=getLCA(now,to);
blossom(now,to,lca); blossom(to,now,lca);
}
}
return 0;
}
};
using namespace Blossom_Algorithm;
int main()
{
//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
RI i; for (scanf("%d%d",&n,&m),i=1;i<=m;++i)
scanf("%d%d",&x,&y),v[x].push_back(y),v[y].push_back(x);
for (i=1;i<=n;++i) if (!match[i]) ans+=Augument(i);
for (printf("%d\n",ans),i=1;i<=n;++i) printf("%d ",match[i]);
return 0;
}
Postscript
带花树的复杂度上界在于枚举孤立点时要把所有点入队，如果找到花的话就要遍历整朵花，因此总复杂度为\(O(n^3)\)
而据说带花树还有扩展可以用来解决一般图的带权匹配问题，这个有点恐怖了就先不管了
