[六省联考2017]相逢是问候
description
solution
首先你要知道扩展欧拉定理。
扩展欧拉定理
\[a^c\equiv
\begin{cases}
a^{c\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\
a^c~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\
a^{c\%\phi(p)+\phi(p)}~~~~gcd(a,p)\neq1,c\geq\phi(p)
\end{cases}~~~~~~~(mod~p)
\]
可能不太靠谱的证明:
考虑\(a\)为质数的情况。
设\(p=p'a^r\),则\(gcd(a,p')=1\);由欧拉定理，\(a^{\phi(p')}\equiv 1(mod\ p')\);
而易知\(\phi(p')|\phi(p)\),因此\(a^{\phi(p)}\equiv 1(mod\ p')\);
那么\(a^{\phi(p)}=k\times p'+1\)
两边同乘\(a^r\),得\(a^{\phi(p)+r}=k\times p+a^r\)
因此\(a^{\phi(p)+r}\equiv a^r(mod\ p)\)
又\(r\le \phi(p),\)所以对于任意\(c\ge\phi(p)\ge r\),\(a^{\phi(p)+c}\equiv a^c(mod\ p)\)。
对于质数的幂:
\((a^k)^c\equiv a^{kc}\equiv a^{k(\phi(p)+c)}\equiv (a^k)^{\phi(p)+c}(mod\ p),c\ge \phi(p)\)
对于所有的\(a\)，分解质因数即可。
而我们知道一个数取至少\(log+1\)次\(\phi\)后会变成\(1\).
因此我们暴力修改，直到后面的\(\phi\)变成\(1\)后剪枝即可。
需要注意的是在\(\phi\)变成\(1\)后一定要再多取一次。
这样的复杂度...
我们考察一个数,算上快速幂的\(log\)，它被修改一次的复杂度是\(log^2\)的，要修改\(log\)次，
所以每个数应该是\(log^3\)?不是很会证复杂度
然后常数大一点就会像我一样\(T\)
于是我们把快速幂分块预处理一波，复杂度就变成了\(log^2\)。
还是挺神仙的
Code
#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define Cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define Set(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define FILE "4869"
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const int N=50010;
const int M=1000010;
const dd eps=1e-5;
const int inf=2147483647;
const ll INF=1ll<<60;
const ll P=100000;
il ll read(){
RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
return data*w;
}
il void file(){
srand(time(NULL)+rand());
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
}
int n,m,p,c,cal[N],top,a[N];
il int getphi(int x){
RG int phi=x;
for(RG int i=2;1ll*i*i<=x;i++)
if(x%i==0){phi=phi/i*(i-1);while(x%i==0)x/=i;}
if(x!=1)phi=phi/x*(x-1);return phi;
}
il int poww(int a,int b,int mod){
RG int ret=1;bool pda=0,pdret=0;
while(b){
if(b&1){
if(pda||1ll*ret*a>=mod)pdret=1;
ret=1ll*ret*a%mod;
}
b>>=1;
if(1ll*a*a>=mod)pda=1;
a=1ll*a*a%mod;
}
return ret+pdret*mod;
}
int listc[10005][52],listt[10005][52];
int sum[N<<2],cover[N<<2];
#define ls (i<<1)
#define rs (i<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
il void update(int i){
sum[i]=(sum[ls]+sum[rs])%p;
cover[i]=min(cover[ls],cover[rs]);
}
il void build(int i,int l,int r){
if(l==r){a[l]=sum[i]=read();cover[i]=0;return;}
build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);update(i);
}
int query(int i,int l,int r,int x,int y){
if(x<=l&&r<=y)return sum[i];RG int s=0;
if(x<=mid)s=(s+query(ls,l,mid,x,y))%p;
if(mid<y)s=(s+query(rs,mid+1,r,x,y))%p;
return s;
}
void modify(int i,int l,int r,int x,int y){
if(cover[i]==top-1)return;
if(l==r){
cover[i]++;
sum[i]=a[l]%cal[cover[i]+1]+(a[l]>=cal[cover[i]+1])*cal[cover[i]+1];
for(RG int t=cover[i];t;t--){
if(listc[sum[i]%10000][t]>=cal[t]||listt[sum[i]/10000][t]>=cal[t])
sum[i]=1ll*listc[sum[i]%10000][t]*listt[sum[i]/10000][t]%cal[t]+cal[t];
else sum[i]=1ll*listc[sum[i]%10000][t]*listt[sum[i]/10000][t]%cal[t];
}
sum[i]%=p;
return;
}
if(x<=mid)modify(ls,l,mid,x,y);
if(mid<y)modify(rs,mid+1,r,x,y);
update(i);
}
int main()
{
n=read();m=read();p=read();c=read();
cal[++top]=p;
while(cal[top]!=1){
RG int x=getphi(cal[top]);
cal[++top]=x;
}
cal[++top]=1;
for(RG int i=1,ret;i<=top;i++){
for(RG int j=0;j<10000;j++)
listc[j][i]=poww(c,j,cal[i]);
ret=poww(c,10000,cal[i]);
for(RG int j=0;j<10000;j++)
listt[j][i]=poww(ret,j,cal[i]);
}
build(1,1,n);
for(RG int i=1,opt,l,r;i<=m;i++){
opt=read();l=read();r=read();
if(!opt)modify(1,1,n,l,r);
else printf("%d\n",query(1,1,n,l,r));
}
return 0;
}
