2024 5月

计数

如果要记录满足条件的方案数的话，看起来无从下手，看起来不好刻画dp的话。考虑如果给你这个方案你会怎么做，然后我们直接对着这个过程硬搞一个自动机出来，然后对着自动机dp
nflsoj,给你一张二分图，左边n个点，右边m个点，左边一个点和右边一个点有边的概率是1/2，求左边右边各随机一个点的期望距离。首先转换成求左边1号点到右边1号点的期望距离，然后对着bfs搞dp，记录状态（当前在左/右边，当前层的点数，当前层剩下的点数，另一层剩下的点数）下的概率和期望。倒着dp直接做完了

FLOW

cf1666k,考虑最小割，但是有三种状态，我们考虑增加变量来表示更多状态，拆点，ST属于A，TS属于B，SS或TT属于C，发现模型很好，贪心的发现SS和TT的情况不会出现，于是做完了
p9070,先转换成n*n的矩阵，第i个人有第i行的所有牌，目标是每行都是个排列，考虑sub1，发现操作右上三角会使矩阵转置，考虑sub2，发现把不一样的放在最后一个是可以的，那么就可以归纳。那么相当于我们每次从每行中选一个，使得选出的是一个排列。那么就是二分图(行-权值)中找到一个完美匹配，我们真的能每次都找到吗，可以的。删除后一些点后，每个点度数一样，根据Hall定理可知一定有解。

trick

如果要选最多的线段使得他们的交非空，答案就是每个线段区间加，区间最大值
如果赛时发现问题转化成一个看起来比较NP的问题，且发现的性质用不大上，考虑编一些定理，比如最小点覆盖（覆盖所有边）=n-最大独立集。DAG最小路径覆盖（覆盖点）=n-二分图最大匹配。在某些特殊情况，如三元组（i,j,k）i->j,j->k存在且i->k一定存在的话，那么最小路径覆盖=最小点覆盖。DAG上最小路径覆盖=最长反链，这个其实比较显然。如果带权的话，考虑费用流或者把普通问题流量为一的边改成权值。

构造

cf1876e,发现如果以某个点为根周围全是外向边则可随便染色，所以如果可以定向为外向的话是非常优的，如果碰到内向边。如果我们还有颜色就染上，否则说明从根到当前点内向边多于外向边，我们以当前这个点为根肯定不劣。所以我们只需要找到最少内向边的根就可以。