专升本高数学习笔记

第一章 函数，极限与连续性

函数

基本初等函数

函数的图像

  1. 正弦函数 sin x， 反正弦函数 arcsin x
  • y = sin x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = (π/2) + kπ 为对称轴
  • y = arcsin x， x∈[–1，1]， y∈[–π/2，π/2]
  1. 余弦函数 cos x， 反余弦函数 arccos x

  • y = cos x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = kπ 为对称轴

  • y = arccos x， x∈[–1，1]， y∈[0，π]

  • 注意：

    • cos x = 0 ←→ arccos x = π/2
    • cos x = 1/2 ←→ arccos x = π/3
    • cos x = √2/2 ←→ arccos x = π/4
    • cos x = 1 ←→ arccos x = 0
    1. 反正弦函数 arcsin x， 反余弦函数 arccos x

  • y = arcsin x 与 y = arccos x 自变量的取值范围都是 x∈[–1，1]

  • y = arcsin x 与 y = arccos x 的图像关于直线 y = π/4 对称，相交与点 (√2/2 ，π/4)

  1. 正切函数\(tanx\)，余切函数\(cotx\)

  • y = tan x， x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈R，周期为π，当 x → ± (π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
  • y = cot x = 1 / tan x， x∈( 0，kπ )， y∈R，周期为π，当 x → kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
  • y = tan x 与 y = cot x 的图像关于 x = (π/4) + kπ/2 对称
  • 在单个周期内（第一个），y = tan x 与 y = cot x 的图像相交与点 （π/4 ，1）。当 x = (π/4) + kπ/2 时，y = tan x 与 y = cot x 函数的值都相等，等于 ±1
  1. 反正切函数 arctan x， 反余切函数 arccot x

  • y = arctan x 与 y = arccot x 自变量的取值范围都是 x∈R
  • y = arctan x 与 y = arccot x 的图像关于直线 y = π/4 对称，相交与点 (1 ，π/4)
  1. tan x = 0 ←→ arctan x = 0
  2. tan x = 1 ←→ arctan x = π/4
  3. tan x = √3 ←→ arctan x = π/6

https://airtcplink3.top/link/X3NiCbWvOzrPXflJ?sub=1

等价无穷小

定义域

  • 知识点

函数对应关系表达式

  • 知识点

  • 典型例题

这类比较简单，直接往里面套就好了

这类将内函数设为t，然后表示t，求出来的f(t)就是f(x)

函数特性的判断

判断方法：

方法一：定义本身就是判别\(f(x)\)奇偶性的方法
方法二：间接法

  • 奇函数的导数必定是偶函数，如\((sinx)'=cosx\)
  • 偶函数的导数必定是奇函数，如\((x^2)'=2x\)
  • 奇函数的一切原函数必定是偶函数
    • 若\(f(x)=sin(x)为奇函数\Rightarrow F_1(x)=-cosx+c必为偶函数\)
  • \(f(x)-f(-x)为奇函数，f(x)+f(-x)为偶函数\)

奇偶性

省略，简单来说就是：

偶函数：\(f(-x)=f(x)\)

奇函数：\(f(-x)=-f(x)\)

非奇非偶函数就是两个都不是的

注意：

（1）奇偶性是函数整体上的概念，且定义域关于函数原点对称
（2）奇函数的图像关于坐标原点对此；偶函数的图像关于纵坐标对称

单调性：

有界性：

判断方法：

注意：

（1）函数的有界性有其区间的相对性
（2）函数的周期性往往考察函数的周期系数

函数和反函数

反函数与原函数的关系

反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域；函数的反函数，本身也是一个函数；偶函数必无反函数；奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。

规律：
①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。

②反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域。

③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：

④偶函数必无反函数。

⑤单调函数必有反函数。

⑥奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。

⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。

⑧互为反函数的图象间的关系。

函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称

四则运算

待补充

极限

概念：

数列极限：\(n\rightarrow\infty,x_n无限接近于一个确定的常数A;\)
函数极限：
\(n\rightarrow\infty时，函数f(x)的极限\)
\(n\rightarrow x_0时，函数f(x)的极限;\)

极限运算法则：

两个重要极限

常见极限

极限的计算

1、有理化求极限
2、利用等价无穷小求极限
3、利用极限的四则运算求极限
4、利用非零因子简化极限
5、利用分子分母同时除以最高次幂的思想求极限
6、利用重要极限
7、利用夹逼定理求极限
8、利用对数恒等式求极限

连续

利用函数的连续点求极限

⭐⭐⭐⭐⭐洛必达法则

  • 洛必达法则的本质是一个定理，它规定，如果一个形如\(\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}\)的极限，如果它满足：
  1. x趋向于常数a时，函数f(x)和F(x)都趋向于0
  2. 在点a的去心邻域内，f(x)和F(x)的导数都存在，并且\(F'(x) \neq 0\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{F'(x)}\)存在

那么：

\(\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\)

也就是当变量趋向于一个常数时，如果分子分母函数的导数存在，那么我们可以用导数的极限比值来代替原函数的比值。

⭐⭐⭐⭐⭐夹逼定理

感觉这一章差不多了，进入下一章😜😂

第二章 一元函数的导数与微分

先放一个常见的18个求导公式的图片

导数

导数的概念

与其整那些麻烦的概念，还不如直接记住这几个公式来的快和方便

几何意义：

单侧导数

就是某个点的某一侧的导函数，+表示右边，-表示左边

导数、连续和极限存在的关系

总结：也就是说在某点可导可以推出连续，然后可以推出极限存在，但是不可以逆推

可导函数的概念

💡导数的求法

  • 四则运算求导

![[Pasted image 20220724065649.png]]

  • 复合求导法则

![[Pasted image 20220724070038.png]]

导数相关概念

间断点

间断点分为第一类间断点和第二类间断点

第一间断点分为如下：

可去间断点

跳跃间断点
 函数在x0处极限存在但函数在x0处无定义或者有定义但函数值不等于极限值

函数在x0处左右极限都存在但不相等

第二类间断点分为如下：

无穷间断点和震荡间断点

  • 判别方法
step1 首先找出可能成为间断点的x0(如函数无定义的点、分段函数分段处的点）

step2 求出函数在x0点处的左、右极限

step3 若左、右极限至少有一个不存在==>第二类间断点

第二类间断点分为无穷间断点和震荡间断点
例如：

 无穷间断点：x=0为y=1/x的无穷间断点
 震荡间断点：x=0为y=sin(1/x)的震荡间断点
step4 若左、右极限都存在

且左极限=右极限=函数值==>函数在x0处连续

以下情况为第一类间断点：

 左极限=右极限≠函数值==>x0为可去间断点
 左极限≠右极限==>x0为跳跃间断点

🎫微分

  • 微分学基本公式 （16个）

![[Pasted image 20220724070506.png]]

💋微分的概念

微分本质是一个微小的线性变化量，是用一个线性函数作为原函数变化的逼近（或者叫近似）

微分的定义是从导数而来的

📰公式

微分运算法则

✍例题

  • 隐函数求导

左右两边同时求导，然后化简为\(dy\div dx=\)就可以了

  • 求幂指函数的导数

方法二是：\(y=f(x)^{g(x)}\rightarrow e^{ln(x)g(x)}\)

✍例题

由上可以推出公式👇

👁注意: 这里的\(f(x)是x，g(x)是sinx\)

🎫一元函数的高阶导数

🎫求参数方程确定的函数的导数

🎫含字母表示的抽象函数的导数

🎫一元函数的高阶导数

第三章 一元函数积分学

👓原函数、不定积分的概念

  • 原函数

  • 不定积分

不定积分的性质

基本积分公式


上面的不太全，整个全的：积分公式全套

注意：这些公式最好背下来。自己推论的话欲生欲死

  • 总结：
    积分也就是说导数的不定积分就是原函数+常数，也就是它的定义

基本运算性质

解题思路

🎇利用第一类换元积分法求不定积分

  • 概念：
    第一类换元积分法

第一类换元法的基本思路

第一换元法可积类型

🎇利用第二类换元积分法求不定积分

  • 概念：

  • 思路

🎇利用分布积分法求不定积分

  • 概念公式

  • 选取u和v‘的原则两个

  • 分部积分法的积分思路

即：一个积分，一个求导

👓定积分

  • 定积分的概念

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限

这里可以引入求曲边梯形的面积来理解概念：

注意：不定积分求得是原函数，定积分求得是常数

  • 定积分的求法：

  • 积分的性质
    1.定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关
    2.积分值与区间的分隔方法以及变量的取值无关

  • 先贴一道典型的例题

一次导小于0说明是减函数，二次导大于0说明是凹函数

  • 再贴一道例题

这道题要知道\(1+2^2+3^2+..+n^2\)的公式，也就是\(n(n+1)(2n+1)/6|\)

定积分的性质

积分上下限函数的性质、概念

求定积分

常规解法

常规的步骤就是先求出它的原函数，然后将上限带入原函数前去将下限带入原函数

换元积分法求定积分

注意：换元必换限，复合必求复和导

利用分布积分法计算定积分

广义积分

  • 定义：广义积分分成瑕积分和无穷积分

瑕积分就是上下限不能取到的积分，这个点一般称为瑕点

无穷积分就是上下限趋近于无穷的的积分

  • 散敛性判断：

万能判断法：

参考B站视频的万能公式判断法
02:52

第四章 无穷级数

常数项级数

  • 概念
    \(给出一个无穷序列u_1,u_2,...,u_n, 我们把它们的和式 u_1+u_2+...+u_n+... 称为无穷级数，简记为\)\(∑^∞_{n=1}u_n\)，其中\(u_n\)是通项。
    根据每一项的特征，级数又分为了数项级数和函数项级数。

  • 定义：
    若是通项只和n有关则为常数项级数，若是与N和X有关，则为函数项级数

首先先了解一下无穷级数的敛散性😘

  •  **无穷级数的敛散性**
    • 级数收敛：前n项和收敛。（n->∞）
      • 定义：
        • 如果级数\(∑^∞_{n=1}u_n\)的部分和数列 {Sn} 有极限 S，即 \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n=S\)，那么称无穷级数\(∑^∞_{n=1}u_n\)收敛，这时极限S叫做这级数的和，并写成 \(S=u_1+u_2+u_3+⋯+u_n+⋯\) ；
        • 如果 {Sn} 没有极限，那么称无穷级数\(∑^∞_{n=1}u_n\)发散
        • 思考：也就是有极限就是收敛，无极限就是发散😉
    • 绝对收敛:原级数收敛，通项取绝对值后的新级数仍然收敛。
    • 条件收敛:原技术收敛，通向取绝对值后的新级数发散。
    • 级数发散：前n项和发散。(n->∞)
  • **级数收敛的必要条件：** 判断级数敛散性的方法
    • 概念：
      • 如果级数\(∑^∞_{n=1}u_n\)收敛，那么它的一般项 \(u_n\) 趋于0，即 \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}u_n=0\)
      • 反过来不一定成立，可以联想调和级数\(∑^∞_{n=1}1/n\)
  • 柯西审敛原理：
    级数\(∑^∞_{n=1}u_n\)收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n＞N 时，对于任意的正整数 p 都有： \(|u_{n+1}+u_{n+2}+⋯+u_{n+p}|<ε\) 成立

🎈收敛级数的性质

  • 性质1:
    如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 收敛于和 S, 那么级数\(\sum_{n=1}^{\infty} k u_{n}\) 也收敛,且其和为 kS .

  • 性质2：
    如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 与 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}\) 分别收敛于和 S 与 \(\sigma\), 那么级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n} \pm v_{n}\right)\) 也收敛,且其和为 \(s \pm \sigma\)

  • 性质3：
    在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.

  • 性质4：
    如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 收敛,那么对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变
    \((u_1+⋯+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+⋯+u_{n_2})+⋯+(u_{n_{k+1}+1}+⋯+u_{n_k})+⋯\)
    推论: 如果加括号后所成的级数发散,那么原来级数也发散

  • 性质5(级数收敛的必要条件):
    如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 收敛,那么它的一般项 \(u_{n}\) 趋于零,即: \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}u_n=0\)

🎈常见的常数项级数

  • 1.正项级数:

  • 2.交错级数:

  • 3.等比级数:

  • 4.倒阶乘级数:

  • 5.调和级数:

  • 6.P级数:

🎈判断常数项级数审敛法

1.达朗贝尔比值审敛法（正向级数）

也叫比值法

2.柯西根值审敛发（正向级数）

根值审敛法

3.莱布尼茨审敛法(交错级数)

4.比较审敛法（正向级数）

5.绝对收敛与条件收敛判别法

6.积分判别法

7.判断收敛的重要定义

如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 收敛,那么它的一般项 \(u_{n}\) 趋于零,即: \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}u_n=0\)

不管三七二十一先求通项极限，若是为0则可能收敛，否则为发散

8.几种常见级数收敛性

9.⭐幂级数

重要

参考地址：

学习地址
级数复习总结
[[无穷级数]]

第五章 微分方程

1、常微方程的概念

定义：

含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程，称为微分方程

说的简单点就是含有未知函数及其导数的方程，解微分方程就是找出未知函数

  • 常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）指的是：

仅含有一个独立变量的微分方程。如果微分方程中的未知函数包含两个或两个以上的独立变量，则该微分方程为偏微分方程

如上图：1，2，3都是常微分方程，4是偏微分方程。因为有x和t两个自变量

阶数

微分方程的阶数取决于方程中出现的最高次导数阶数，例如例子 (2) 是三阶常微分方程，而例子 (3) 最高阶导数的阶数为 2 ，所以是二阶常微分方程

解、通解、特解

  • 解

代入微分方程能使之成为恒等式的函数，成为微分方程的解

  • 通解

解中含有独立的任意常数，且独立任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此类解为微分方程的通解

  • 例如：

\(函数y=x^2+C,(C为任意常数)，就是微分方程y’-2x=0的通解\)

  • 特解

在微分方程的解中不含有任意常数的解，称为微分方程的特解

2、一阶线性微分方程

可分离变量的微分方程及其求解

概念

特点：

(1)已解出一阶导数

(2)右端是一个x的一元函数和一个y的一元函数的乘积

例：

解法

判断方程类型,若是可分离变量方程,则使用积分法求微分方程的通解

若是...=0的形式，则先移项目变形，再分离变量，同时积分

可化为可分离变量的微分方程的两类方程的求解

A类齐次方程

首先齐次的意思就是简化后的方程中所有非零项的指数相等，也叫所含各项关于未知数的次数，其方程左端是含未知数的项，右端等于零

计算步骤

  1. 变量代换
  2. 带入原方程
  3. 分离变量
  4. 等号两边同时积分
  5. 积分后回带
  6. 得到原方程的通解（带入特定值的特解）

B类齐次方程

一阶线性微分方程及其求解

概念

一阶线性非齐次微分方程的求解

三种方法如下：

1、 常数变易法

方法二：公式法

方法三：积分因子法

可化为一阶线性微分方程的方程

贝努利方程的概念

可以降阶的高阶微分方程求解

第一类：可以多次两边积分的类型

解题思路就是两边不停的积分求原函数，最后得到通解

第二类：不显含y

第六章：向量代数与解析几何

向量代数

空间直角坐标系

长下面的样子

空间两点的距离

空间坐标的对称性

口诀：关于谁对称，谁不变，其他加负号；关于原点对称，则全变

向量的概念

定义：

既有大小又有方向的量称为向量

向量的符号

向量的模就省了吧，没啥好记的，高中学过了，这部分还记得

单位向量

方向角与方向余弦

\(非零向量a与三条坐标轴的夹角 \alpha,\beta,\gamma 称为向量a的方向角，\)\(设向量a= (x,y,z) ,则 cos\alpha=\frac{x}{|a|} , cos\beta=\frac{y}{|a|} , cos\gamma=\frac{z}{|a|} ,得 (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)=(\frac{x}{|a|},\frac{y}{|a|},\frac{z}{|a|})=\frac{1}{|a|}(x,y,z)=\frac{a}{|a|}=e_{a} , cos\alpha,cos\beta,cos\gamma\)\(称为向量a的方向余弦，以向量a的方向余弦为坐标的向量就是与a同方向的单位向量 e_{a} ，并由此得 cos^{2}\alpha+cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma=1\)

记住以下结论：方向角的余弦的平方和等于1

向量的运算

1、线性运算
2、向量的数量积(点乘)

3、性质

4、向量积

例题：

几何意义：

向量间的关系

平行、垂直

空间直线与平面

空间平面方程的三种形式

点法式：设平面上一点为 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\)，平面的法向量为 \(\vec{n}(A,B,C)\)，则平面上任意一点 \(P(x,y,z)\) 满足向量 \(\vec{P_0P}\) 与 \(\vec{n}\) 垂直，即： $$ \vec{P_0P}\cdot\vec{n}=0 $$ 展开得到： $$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 $$

一般式：设平面的一般式方程为 \(Ax+By+Cz+D=0\)，则平面的法向量为 \(\vec{n}(A,B,C)\)，平面上任意一点 \(P(x,y,z)\) 满足向量 \(\vec{P_0P}\) 与 \(\vec{n}\) 垂直，其中 \(P_0\) 是平面上任意一点，即： $$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 $$ 展开得到： $$ Ax+By+Cz+D=0 $$

截距式：设平面与三个坐标轴的交点分别为 \(x,y,z\) 轴截距分别为 \(a,b,c\)，则平面的方程为： $$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $$

1、平面的点法式方程

空间法线是垂直于切线

法向量：空间中，垂直于某一平面的非零向量

2、平面的一般方程

其中n向量为法向量

例题：

平面一般方程的几种特殊情况

平面的截距式方程

两平面的夹角

定义：两平面法向量的夹角称为两平面的夹角

两平面位置特征

点到平面距离公式

空间直线的方程

空间直线的一般式方程

空间直线的标准式方程、参数方程、方向向量

两直线的夹角

定义

两直线的方向向量的夹角称为这两直线的夹角(锐角）

两直线夹角公式

两直线的位置关系

直线与平面的位置关系

直线与平面的夹角公式

点到平面的距离

设点 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 到平面 \(Ax+By+Cz+D=0\) 的距离为 \(d\)，则有： $$ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A2+B2+C^2}} $$ 其中 \(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|\) 表示点 \(P\) 到平面的有向距离，即如果点 \(P\) 在平面上方，则距离为正，否则为负。

两异面直线的距离

两异面直线的距离可以通过以下公式计算： $$ d=\frac{|\vec{AB}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} $$ 其中 \(\vec{AB}\) 表示两直线上的任意两点的向量差，\(\vec{n}\) 表示两直线的方向向量的叉积。

posted @ 2022-10-03 17:11  流岁金沙  阅读(337)  评论(0)    收藏  举报