编辑距离问题+第三章作业

一.距离编辑问题

1.问题描述：s和t是2个字符串,需要把s编辑成t，求s编辑成t的最小操作次数，即为编辑距离其中对s的操作只能有三种：

• 删除一个字符，记为1次操作
• 插入一个字符，记为1次操作
• 替换一个字符，记为1次操作

　　

　　输入格式：第一行是字符串s，文件的第二行是字符串t。

　　输出格式：最小编辑距离（某自然数）

 

2.问题分析：

设字符串s长度为m；字符串t长度为n; i,j为字符下标；

D[i,j]表示s[1,i]编辑成t[1,j]的最小距离,原始问题为D[m,n]

对于三种操作：考察末尾元素

①删除：

 

s[1,i]删除末尾元素s[i]趋向t[1,j];    即D[i,j]=D[i-1,j]+1

 

②插入：

 

s[1,i]末尾插入元素t[j]趋向t[1,j];    即D[i,j]=D[i,j-1]+1

 

 

③替换：

 

 

 

• 若s[i]=t[j],则无替换操作；   即D[i,j]=D[i-1,j若s[i]≠t[j],则把s[i]替换成t[j]；   即D[i,j]=D[i-1,j-1]+1

3.递归方程式：

对于以上三种操作的分析可以得出递归方程式为：

（其中D[i,j-1]，D[i-1,j]，D[i-1,j-1]均符合动态规划的最优子结构性质）

 

 

 

4.填表

①表的维度：由D[i,j]格式可知，显然是二维数组

②填表范围：由i∈[0,m],j∈[0,n]可知，表的大小为m*n

③填表顺序：由递归方程式可知，表格自上而下，从左到右填写

④表的初始化：i=0时，所取s字符串为空，所以做j次插入； 即D[0,j]=j

 　　　　　　  j=0时，所取t字符串为空，所以做i次删除； 即D[i,0]=i

 

 

 

5.复杂度分析：

• 时间复杂度：表格大小为m*n，二重循环，故为O(m*n)
• 空间复杂度：表格大小为m*n，二维数组，故为O(m*n)

 

 

 6.伪代码和具体代码：

 

 

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

char s[2001], t[2001];
int d[2001][2001];
int temp = 1;

int main (){
　　cin >> s;
　　cin >> t;
　　int l1 = strlen (s);
　　int l2 = strlen (t);
　　for(int i = 0; i <= l1; i++) d[i][0] = i;                            //初始化
　　for(int i = 0; i <= l2; i++) d[0][i] = i;

　　for(int i = 1; i <= l1; i++){
　　　　for(int j = 1; j <= l2; j++){
　　　　　　if(s[i-1] == t[j-1]) temp = 0;              //无需替换                

　　　　　　 else temp = 1;                               //需要替换      
　　　　　　int m = min(d[i-1][j] + 1,d[i][j-1] + 1); //选择删除插入中最小编辑距离
　　　　　　d[i][j] = min(m,d[i-1][j-1] + temp);　　//选择替换删除插入中最小编辑距离
　　　　}
　　}

　　cout <<d[l1][l2];
　　return 0;
}

 

二.动态规划相关理解

1.解题思路：求解f(n)问题时当做f(n-1)的答案已经得知，在此基础上思考子问题和原问题的联系，从而得出递归关系式。

对动态规划的理解此处借用知乎上的回答：

问题的答案依赖于问题的规模​，也就是问题的所有答案构成了一个数列。

将动态规划拆分成三个子目标：建立递归关系式；缓存并复用以往结果；按顺序从小往大算

 

2.递归关系式是动态规划最重要的内容！

建立了正确的递归关系式后，我们可以在运用填表法时，可以通过递归关系式得到表的大小，表的范围，填表顺序

在编写程序时，也是通过正确的递归关系式的各个部分来编写动态规划的核心算法

 

三.结对编程情况概述：

主要流程是一起看题交流思路，然后各自编写代码，中间有什么问题和不懂再探讨探讨，最后debug。

我主要负责编写代码，有时候只顾自己的思路，没有考虑队友有没有理解，我的问题，以后一定注意。