第二章上机实验报告

1.实验名称：寻找找第k小的数

 

2.问题描述：

a.题目大意：在n个无序的整数中找出第k小的数-------快速排序

b.题目要求：平均时间为O(n)------优化快速排序

 

3.算法描述：

a.核心函数：int partition(int a[],int left,int right)可以根据a[left]~a[right]中的左端元素x进行划分，交换x左右的元素，使得x左边元素均小于x，右边元素均大于x，从而继续分化

int partition(int a[], int left, int right)

{
　　int x = a[left];                                                                //使左端元素x为划分依据
　　while(left < right)
　　{
　　　　while (left < right && a[right] >= x) right--;            //从右端开始下标左移，若大于x则不改变位置
　　　　a[left] = a[right];                                                    //大于x的元素移到最左端
　　　　while (left < right && a[left] <= x) left++;　           //从左端开始下标右移，若小于x则不改变位置
　　　　a[right] = a[left];                                                   //小于x的元素移到最右端
　　}
　　a[left] = x;                                                                    //使中间元素等于x
　　return left;                                                                   //返回x的下标

}

 

b.判断第k小：int find(int a[],int left,int right,int k)可以利用x所在的位置计算出x是这批数据按升非降序排列的第几个数,判断划分点是否第k小

                     若不是，递归调用find函数继续在左段或右段查找

int find(int a[], int left, int right, int k)

{
　　int pos = partition(a, left, right);                  //利用partition函数找出中间元素x的下标
　　if (k - 1 == pos) cout << a[k - 1];                     //如果是第k小数，则直接输出
　　else if (k - 1 < pos) find(a, left, pos - 1, k);    //如果是第0~k-1小的数则在左区间查找      
　　else find(a, pos + 1, right, k);
　　return 0;

}

 

c.优化函数：int random_partitionint a[],int left,int right)随机划分使得期望划分对称，避免最坏情况

   最坏情况：partition函数每次均出现两个区域元素个数为n-1和1这种极端不对称情况，时间复杂度为O（n^2）

 

int random_partition(int a[],int left,int right)

{
　　int i=(rand() % (right-left+1))+ left;                                  //取left和right之间的随机某数作为中间元素x
　　swap(a[i],a[left]);                                                                  
　　return partition(a,left,right);
}

void quick_sort(int a[],int left,int right)

{
　　if(left<right)

　　{
　　　　int k = random_partition(a,left,right);
　　　　quick_sort(a,left,k-1);
　　　　quick_sort(a,k+1,right);
　　}
}

 

 

4.算法分析

a.时间复杂度：O(nlogn)

①分解子问题：以中间元素x为基准分成三段------O（n）

②递归求解：T(n)=2T(n/2)+O(n)

 

b.空间复杂度：数组存储------O（n）

 

5.心得体会

快速排序是利用分治法策略的优秀算法，对我来说其中有两个难点：

①理解partition函数的作用：通过不断进行以中间元素x为依据的划分，使得数组的有序程度步步提升

②理解quick_sort对partition的调用：每段开头返回中间元素位置，以此分成两边，两边再次调用partition进行递归分治

 

完整代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int partition(int a[], int left, int right)

{

　　int x = a[left];
　　int i = left;
　　int j = right;

　　while(i < j)

　　{

　　　　while (i < j && a[j] >= x) j--;
　　　　while (i < j && a[i] <= x) i++;
　　　　swap(a[i],a[j]);
　　}
　　a[i] = x;
　　return i;

}

int find(int a[], int left, int right, int k)
{
　　int pos = partition(a, left, right);
　　if (k - 1 == pos) cout << a[k - 1];
　　else if (k - 1 < pos) find(a, left, pos - 1, k);
　　else find(a, pos + 1, right, k);
　　return 0;
}

int main()
{
　　int n, k;
　　cin >> n >> k;

　　int a[1000];
　　for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

　　find(a, 0, n - 1, k);
　　return 0;
}