字符串周期相关定理

字符串的周期其实挺难理解的，因为有些时候是“整周期”，有些时候是“不完整周期”。

以下是几个事实，希望会对理解有帮助：

1.周期与 border 的对应关系

字符串周期的定义是对任意 \(i+p\le n\)，有 \(s_i=s_{i+p}\)，所以周期可以不是 \(n\) 的因数，这时候周期是不完整的，相当于 \(s_1\dots s_p\) 这个子串被复制了若干遍，又拼上了一个前缀。

需要注意的是，当 \(p>\frac{n}{2}\) 的时候，周期对中间部分字符完全没限制。

这样看，\(s_1\dots s_{n-p}\) 这个前缀和 \(s_{p+1}\dots s_n\) 这个后缀完全相等，也就是说产生了一个 \(n-p\) 大小的 border。

而对于长度为 \(x\) 的 border，我们有 \(i\le x\) 时，也就是 \(i+n-x\le n\) 时，\(s_i=s_{n-x+i}\)，所以也是产生了 \(n-x\) 长度的周期。

2.最小周期

不管是整周期还是不完整周期，字符串的最小周期都很有意义。

可惜的是，\(p>\frac{n}{2}\) 的时候，有些点是自由的，所以只有：字符串任意周期 \(p\) 满足 \(p_{min}\times 2\ge n\) 都是最小周期的倍数。

因为如果有 \(p>p_{min}\) 是 \(p\) 的周期且 \(p\mod p_{min}=x\ne 0\)，那么任意 \(i\le n-p\) 都有 \(s_i=s_{i+p}=s_{i+x}\)，同理所有 \(i>p\) 也有 \(s_i=s_{i-x}\)，这样 \(i>n-p\) 的时候也有 \(s_i=s_{i+x}\) 成立了，所以 \(x\) 也是字符串的周期且 \(x<p_{min}\)，矛盾。

由这个还可以得到：任何字符串的所有 border 长度构成不超过 \(\log n\) 个等差数列。

3.Fine-Wilf 定理

也就是所说的强周期引理。

定理叙述为，若 \(p,q\) 都是 A 的周期，且 \(p+q-\gcd(p,q)\le n\)，那么 \(\gcd(p,q)\) 也是 A 的周期。

弱化版是 \(p+q\le n\) 就满足 \(\gcd(p,q)\) 是 A 的周期。

证明弱化版：不妨设 \(p\le q\)，对于任意 \(i+q-p\le n\)，如果没有 \(i<p\)，那么 \(n-i\ge q\)，也就是说 \(i+q\le n\)。

前者有 \(s_i=s_{i-p}=s_{i-p+q}\)

后者有 \(s_i=s_{i+q}=s_{i+q-p}\)，所以说 \(q-p\) 是 A 的周期。

这样经过更相减损，\(gcd(p,q)\) 是 A 的周期。

强周期引理不会证。。。

4.循环与整周期

我们称把两个字符串 A 拼起来为 AA。

那么有：如果 \(p\) 是 A 的周期且是 AA 的周期，那么 A 是由若干串拼接而成的，即最小周期 \(p_{min}|n\)。

注意这个条件等价于 AA 存在周期 \(p\) 满足 \(p\le n\)。

由于 A 和 \(p\) 都是小于一半的 AA 的周期，故而 AA 存在最小周期 \(p_{min}|n\)，同时 \(p_{min}\) 也是 A 的最小周期。

这样，我们不依赖因数就获得了“整周期”。

类似的，如果 AA 在 \(AA[i]\dots AA[i+n-1]\) 位置包含 A 做子串，其中 \(1<i\le n\)，那么 A 也存在整周期。

这是因为，画出图来就能看出 \(i-1\) 和 \(n-i+1\) 都是 A 的 border，同时也都是周期，这么说 \(\gcd(i-1,n-i+1)=\gcd(i-1,n)\) 是 A 的周期。注意到这个周期是 n 的因数，那么它小于一半，也就是说存在最小周期，且最小周期也是 n 的因数。