拉格朗日反演

此博客不是讲解用，是口胡用！

多项式复合

用途是求多项式复合逆。若 \(F(G(x))=x\) 则 \(G(F(x))=x\)，因为若设左逆元 \(L(F(x))=x\)，右逆元 \(F(R(x))=x\) 则 \(L(F(R(x)))=L(x)=R(x)\)。于是称 \(F\) 为 \(L\) 的复合逆，故而复合在幂级数环上构成群。

洛朗级数

洛朗级数在幂级数的基础上定义了含有负数项的多项式除法，表示为

\[F(x)=\sum_{i>=n} a_ix^i \]

洛朗级数的四则运算和求导都和幂级数相同

拉格朗日反演

任何 \([x^0]=0\) 且 \([x^1]\ne0\) 的幂级数都有复合逆。

首先对于可求符合逆的幂级数 \(F\)，对于任意整数 \(k\) 满足 \([x^{-1}]F'F^k=[k=-1]\)，因为当 \(k\ne -1\) 时有

\[(\frac{F^{(k+1)}}{k+1})'=F'F^k \]

由于 \(F\) 没有负次幂，故而求导后 \([x^{-1}]\) 次项仍然为 \(0\)，而 \(k=-1\) 时原式为

\[[x^{-1}]\frac{F'}{F}=[x^{-1}]\frac{F'}{xG(x)}=[x^0]\frac{F'}{G}=1 \]

倒数第二个等号成立是因为 \([x^0]G\ne0\) 所以 \(G\) 是可逆的，并且 \([x^0]F'=[x^0]G\) 所以最终常数项的值为 \(1\)。

设 \(F\) 的复合逆是 \(G\)，对于 \(n\geq0\) 则有

\[\begin{aligned}F(G(x))&=x\\ F'(G(x))G'(x)&=1\\ G'(x)\sum_{i>=0} i([x^i]F(x))G(x)^{i-1}&=1\\ \sum_{i>=0}i([x^i]F(x))G'(x)G(x)^{i-n-1}&=G(x)^{-n}\\ n([x^n]F(x))&=[x^{-1}]G(x)^{-n}\\ n([x^n]F(x))&=[x^{n-1}](\frac{x}{G})^n\end{aligned}\]

最后一个式子就是常用的拉格朗日反演了。

非常恐怖，兄弟！