特征多项式

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特征多项式

矩阵 \(A\) 的特征多项式为 \(g_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\)

相似矩阵

若 \(B=PAP^{-1}\)，则 \(B\) 是 \(A\) 的一个相似矩阵，由于 \(\det\) 有乘法分配律，\(\det(A)=\det(P)\det(P^{-1})\det(A)=\det(B)\) 故而只要求出 \(A\) 一个相似矩阵的特征多项式即可。

上海森堡矩阵

上海森堡矩阵形如一个上三角矩阵，并且其主对角线的下一条对角线有值。

那么我们要求解行列式的矩阵 \(\lambda I-A\) 如下

\[\begin{bmatrix} \lambda-x_{1,1} &-x_{1,2}&-x_{1,3}&\cdots&-x_{1,i}\\ -b_2 &\lambda-x_{2,2} &-x_{2,3}&\cdots&-x_{2,i}\\ & -b_3 &\lambda-x_{3,3}&\cdots&-x_{3,i}\\ &&\ddots&\ddots&\vdots\\ &&&-b_i&\lambda-x_{i,i} \end{bmatrix} \]

发现每次按最后一行展开，只会涉及到 \(b_i\) 和 \(x_{i,i}\)。

设前 \(i\) 行前 \(i\) 列的特征多项式为 \(g_i(x)\)。若选择第 \(i\) 列则 \(g_i(x)=g_{i-1}(x)\times(\lambda-x_{i,i})\)，若选择第 \(i-1\) 列，设第 \(i\) 列选择 \(j\) 行，则 \(j+1\) 到 \(i-1\) 行剩余部分构成上三角矩阵，\(j-1\) 及其之前仍然为 \(g_{j-1}(x)\)。故而有

\[g_i(x)=g_{i-1}(x)\times(\lambda-x_{i,i})-\sum_{j=1}^{i-1}g_{j-1}(x)\times x_{j,i}(-1)^{i-j}\prod_{k=j+1}^{i}(-b_i) \]

于是可在 \(O(n^3)\) 的时间复杂度内得到特征多项式。

构造上海森堡矩阵

矩阵的行列式在基本变换操作（交换两行、一行乘 \(k\) 加到另一行）后不会变，故而用高斯消元消掉左下角的部分。

每一次交换 \(i,j\) 两行的操作相当于左乘上

\[\begin{bmatrix} 1 &&&\\ &0&&1&\\ &&1&&\\ &1&&0&\\ &&&&1 \end{bmatrix} \]

的矩阵，其逆是其本身，故而需要右乘该矩阵，效果是交换 \(i,j\) 两列。

每一次将 \(i\) 列乘 \(k\) 加到 \(j\) 列上，相当于左乘上单位矩阵，外加 \(A(j,i)=k\)，求逆后为 \(A(j,i)=-k\) 故而右乘该矩阵效果为将第 \(j\) 列乘 \(-k\) 加到第 \(i\) 列上，不难发现每一行只和其后面的行进行消元就可以消为上海森堡矩阵。

两部分复杂度都是 \(O(n^3)\)。