阶梯博弈

1.使用SG函数

首先假设一个局面的 \(SG\) 函数值是所有奇数层石子数异或起来。

这样只需要证明一个状态是所有后继的 \(mex\)，换句话说证明两点：一个状态不可达它自己；一个状态的后继的 \(SG\) 函数值包含所有比它小的自然数。

一个状态肯定不可达它自己，因为操作是减少一堆的石子数，或增加一堆的石子数，而一些数异或起来，改变其中的一个值不可能不改变异或和。

一个状态肯定可以通过减少一堆的石子数可让 \(SG\) 函数达到所有比自己 \(SG\) 函数值小的自然数。这个就是说，对于序列 \(A\)，设 \(S=\bigoplus_{i=1}^{n} A_i\) 若一个数 \(t\) 满足 \(S\bigoplus t<S\)，一定存在一个 \(A_i\) 满足 \(A_i\bigoplus t<A_i\)。

可以考虑如果 \(S\bigoplus t<S\)，一定存在一个二进制位，\(t\) 中和 \(S\) 中都为 \(1\)，并且由于其在 \(S\) 中为 \(1\) 所以一定存在一个 \(A_i\) 此位为 \(1\)。找到这样的二进制位中最高的，那么 \(t\) 在此位之上都是 \(0\)。于是直接找此位为 \(1\) 的 \(A_i\) 异或上 \(t\) 即可。

所以这个 \(SG\) 函数符合定义，自然有只有异或和为 \(0\) 的时候先手必胜，否则先手必败。

2.不使用SG函数

设当前是必胜态，先手一定能通过移动奇数层的石子玩 Nim 游戏达到必败态。设当前是必败态，如果挪动偶数层的石子，另一方可以把挪动的石子挪动会偶数层，故而操作之后下一次轮到我的还是一个必败态。

不难发现未说明判定方法就使用了“必胜态”的定义，所以逻辑也许是“如果有这么一种状态，它必然胜利，那么会怎么怎么样”，但是这似乎并不显然。