AtCoder Beginner Contest 288

《D - Range Add Query》

题目大意：

　　给定一个长度为n的序列s，和一个整数k

　　我们可以对s进行无数次如下操作：

　　　　1、选定s中的一个下标i（1<=i<=n-k+1）

　　　　2.　对这k个元素进行+c操作，c是个整数

 

　　如果能够将s的元素全部变成0,那么我们称s是一个好序列

　　

　　现在给定一个长度为N的序列S，询问q次

　　每次询问给定区间：[l,r]

　　问这个区间的序列是否为好序列

　　

　　解决思路：

　　　　毫无头绪，既然是区间+操作，

　　　　那么先从差分来试试：

　　　　　　差分，将区间+操作变成了对 差分数组 的两点操作

　　　　　　即对ca[l]+=c,那么对ca[r+1]-=c

　　　　

　　　　　　最终原序列S【l,r】的数全部为0

　　　　　　则最终差分数组 ca[l+1,r]的数全部为0，且ca[l]=-S[l-1]

　　　　　　(为何？自己手写一个例子就明白了)

　　　　　　

　　　　　　那么这个问题就变成了:

　　　　　　给定区间[l,r]

　　　　　　对差分数组ca可以进行无数次如下操作：

　　　　　　　　ca[i]+=c,ca[i+k]-=c (l<=i<=r-k+1)

　　　　

　　　　　　问是否最终可以使得

　　　　　　差分数组ca[l+1,r]中的数全部为0

　　　　　　ca[l]=-S[l-1]

 

　　　　　　还是经过大量的手写模拟数据发现：

　　　　　　　　我们可以对下标%k

　　　　　　　　设sum[i]为在差分数组[l,r]上j%k==i的ca[j]之和

　　　　　　　　对于一般情况如果sum[i]==0,

　　　　　　　　那么就可以通过上面操作使得

 

 

　　　　　　　　如果sum[l]==-S[l-1]

 

　　　　　　　　那么就可以使得

 

 

　　　　　　还有一种特殊情况：

 

　　　　　　　　对于sum[(r+1)%k]是没有条件的，其为任意值都可以

 

　　　　　　　　为啥？

 

　　　　　　　　因为如：

 

　　　　　　　　　　1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

　　　　　　　　　　0 0 0 0 0 0 3 0 0 

 

　　　　　　　　假设最后ca区间上为上面的序列，k=3

 

　　　　　　　　还可以对ca[7]-=3,ca[10]+=3

 

　　　　　　　　但是下标10已经不在区间要求的范围内 可以不管

 

 

 

上面的做法有点麻烦，如果已经领悟到下标%k的想法后

 

可以回到原序列S进行思考：

 

　　sum[i]=S下标j%k==i中，S[j]的和

 

　　选定i 对的数+c

 

　　其实就是对

　　sum[0~k-1]进行+c操作

　　如果区间【l,r】全部为0

　　那么这个区间中的sum[0~k-1]也必然全部为0

　　如果这个区间中的sum[0~k-1]全部为0，

　　区间【l,r】也会全部为0吗？

　　会（不妨利用手写数据模拟一下，可以感性地证明出来）

　　这样其实就是看一下

　　S序列[l,r]中sum[0~k-1]中的数是否都相等

　　如果都相等，那么可以减去这个相等的数，那么sum[0~k-1]也都是为0了

　　如果不相等，那么这个【l,r】序列不是好序列

　　

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<vector<int>> a(n + 1, vector<int>(k + 1));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int num;
        scanf("%d", &num);
        for (int j = 0; j < k; j++)
        {
            if (i % k == j)
                a[i][j] = a[i - 1][j] + num;
            else
                a[i][j] = a[i - 1][j];
        }
    }
    int q;
    cin >> q;
    while (q--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        bool flag = false;
        int same = a[r][0] - a[l - 1][0];
        for (int i = 1; i < k; i++)
        {
            if (same != (a[r][i] - a[l - 1][i]))
            {
                flag = true;
                break;
            }
        }
        if (flag)
        {
            cout << "No" << endl;
        }
        else
            cout << "Yes" << endl;
    }
    return 0;
}